MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 200

Odległości między kolejnymi prostymi wynoszą $5$ cm i $3$ cm, a między prostymi $a,c$ — $8$ cm.

I. Okrąg styczny do $a$ i $c$ ma średnicę $8$ cm, a więc większą niż $5$ cm. Zdanie jest prawdziwe.

II. Środek leżący na $b$ jest oddalony od $a$ o $5$ cm, a od $c$ o $3$ cm. Te odległości nie mogą być jednocześnie promieniem tego samego okręgu. Zdanie jest fałszywe.

Środek okręgu stycznego do prostej musi być od niej oddalony dokładnie o $r$. Po każdej stronie prostej $m$ zbiór punktów w stałej odległości $r$ jest prostą równoległą do $m$. Otrzymujemy więc dwie takie proste.

Prosta jest sieczną wtedy, gdy jej odległość od środka okręgu jest mniejsza niż $3{,}5$ cm. Sieczne muszą zatem leżeć w otwartym pasie szerokości $7$ cm. Wśród prostych odległych kolejno o $1$ cm w takim pasie można umieścić najwyżej siedem prostych. Jest to osiągalne po odpowiednim przesunięciu środka okręgu względem szeregu prostych.

Niech odległości obu prostych od $O$ będą równe $p,q$. Ponieważ proste są po przeciwnych stronach środka i są odległe o $7$ cm, $p+q=7$. Styczność z okręgami o podanych promieniach jest możliwa dla par $(p,q)=(2,5)$ albo $(3,4)$.

Dla odległości $2$ prosta ma $1+2+2+2=7$ punktów wspólnych z czterema okręgami, a prosta w odległości $5$ ma jeden punkt — razem $8$. Dla pary $3,4$ liczby te wynoszą odpowiednio $5$ i $3$, ponownie razem $8$.

Niech $s$ oznacza liczbę siecznych, a $t$ — liczbę stycznych. Każda sieczna daje dwa punkty wspólne, a styczna jeden. Warunki zadania prowadzą do układu

Po odjęciu równań otrzymujemy $s=3$, a następnie $t=4$.

Niech $T$ będzie punktem styczności, a $O$ środkiem okręgu. Trójkąt $OPT$ jest prostokątny, $OT=r$ i $OP=2r$. Zatem

więc $\angle OPT=30^\circ$. Dwie styczne są symetryczne względem $OP$, dlatego ostry kąt między nimi ma miarę $2\cdot30^\circ=60^\circ$.

Promień poprowadzony do środka cięciwy jest do niej prostopadły. Połowa cięciwy ma długość $15$ cm. Dla szukanej odległości $d$ otrzymujemy

więc $d^2=64$ i $d=8$ cm.