MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 199

Pole kwadratu wynosi $4$. Każdy wycięty wycinek ma kąt $90^\circ$. Dwa większe wycinki mają łączne pole $2\cdot\frac14\pi(\sqrt2)^2=\pi$, a dwa mniejsze:

$$2\cdot\frac14\pi(2-\sqrt2)^2=\pi(3-2\sqrt2).$$

Pole pozostałej figury jest równe

$$4-\pi-\pi(3-2\sqrt2)=4-\pi(4-2\sqrt2).$$

Obie części mają ten sam kąt środkowy, oznaczmy go przez $\alpha$. Pole części I jest proporcjonalne do $2^2=4$, natomiast pole części II — do $3^2-2^2=5$:

$$P_{\mathrm I}=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi\cdot4, \qquad P_{\mathrm{II}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi\cdot5.$$

Zatem $P_{\mathrm I}<P_{\mathrm{II}}$.

Oznaczmy $AK=a$, $KB=b$, więc $AB=a+b$. Pole zacieniowanej figury jest różnicą pól półkoli:

$$P=\frac\pi8\left((a+b)^2-a^2-b^2\right)=\frac{\pi ab}{4}.$$

Trójkąt $ALB$ jest prostokątny, bo $AB$ jest średnicą. Z twierdzenia o wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną mamy $KL^2=AK\cdot KB=ab$. Pole koła o średnicy $KL$ wynosi $\pi(\frac{KL}{2})^2=\frac{\pi ab}{4}$, czyli jest równe polu zacieniowanemu. Teza została wykazana.

Połowa cięciwy ma długość $2$. Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez promień, połowę cięciwy i odległość od środka:

$$r^2=2^2+(2\sqrt3)^2=16,$$

więc $r=4$. Połowa kąta środkowego ma cosinus $\frac{2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}$, zatem kąt mniejszego łuku wynosi $60^\circ$.

a) Długości łuków to $\frac16\cdot8\pi=\frac43\pi$ oraz $8\pi-\frac43\pi=\frac{20}{3}\pi$.

b) Pole mniejszego odcinka koła:

$$\frac16\pi\cdot4^2-\frac12\cdot4^2\sin60^\circ =\frac83\pi-4\sqrt3.$$

Łukom w stosunku $5:7$ odpowiadają kąty $150^\circ$ i $210^\circ$. Dla promienia $r$ pole mniejszego odcinka wynosi

$$P_1=\frac{5}{12}\pi r^2-\frac14r^2,$$

bo pole trójkąta o kącie $150^\circ$ jest $\frac14r^2$. Większy odcinek jest dopełnieniem do koła:

$$P_2=\pi r^2-P_1=\frac{7}{12}\pi r^2+\frac14r^2.$$

Po skróceniu przez $\frac{r^2}{12}$ otrzymujemy żądany stosunek.

Niech $l$ będzie długością łuku. Z obwodu wycinka $l+2r=6$, więc $l=6-2r$. Pole wycinka spełnia $\frac12rl=2$, zatem

$$\frac12r(6-2r)=2,$$

czyli $r^2-3r+2=0$. Stąd $r=1$ lub $r=2$. Odpowiadające długości łuku to odpowiednio $l=4$ i $l=2$.