MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 19

a) Zrównanie prawych stron daje $x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0.$ Otrzymujemy punkty $(-3,0)$ i $(2,5)$.

b) Z drugiego równania $y=-3$. Po podstawieniu: $\frac14x^2-x=\frac14x(x-4)=0,$ więc punkty wspólne to $(0,-3)$ i $(4,-3)$.

c) Drugie równanie zapisujemy jako $y=2x-5$. Stąd $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,$ co daje punkty $(2,-1)$ i $(4,3)$.

Graficznie każda para jest zbiorem punktów przecięcia podanej prostej z podaną parabolą; w każdym podpunkcie są dwa takie punkty.

Zrównujemy wzory $f(x)$ i $g(x)$. Jedno rozwiązanie równania oznacza styczną, a dwa różne rozwiązania — sieczną.

a) Otrzymujemy $-(x-3)^2=0$, więc prosta jest styczna.

b) Otrzymujemy $5x^2-x-4=0$; wyróżnik wynosi $81>0$, więc prosta jest sieczna.

c) Otrzymujemy $2x^2-9x+3=0$; wyróżnik wynosi $57>0$, więc prosta jest sieczna.

d) Otrzymujemy $3(x+2)^2=0$, więc prosta jest styczna.

Punkty wspólne spełniają $x^2-4=3x+6,$ czyli $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)=0.$ Są to punkty $A=(-2,0)$ i $B=(5,21)$. Ich środek ma współrzędne

Wybierzmy parabolę $y=x^2$. Jej punkty wspólne z daną prostą spełniają $x^2-\sqrt2x-\sqrt3=0.$ Wyróżnik tego równania jest równy $\Delta=2+4\sqrt3>0,$ więc równanie ma dwa różne rozwiązania. Wybrana parabola ma zatem z prostą dwa punkty wspólne.

Dla pierwszego układu zrównujemy prawe strony: $2x^2+25x+75=0.$ Pierwiastki to $x=-5$ i $x=-\frac{15}{2}$.

Dla drugiego układu otrzymujemy $x^2+7x+10=(x+5)(x+2)=0,$ czyli $x=-5$ lub $x=-2$.

Wspólną wartością jest $x=-5$. Z równania prostej $y=-x+2$ dostajemy $y=7$. Para $(-5,7)$ spełnia więc oba układy.

a) Punkty wspólne odpowiadają rozwiązaniom równania $x^2-\pi x+\frac52=0.$ Jego wyróżnik to $\pi^2-10<0$, więc nie ma punktów wspólnych.

b) Oznaczmy $r=\sqrt[3]{4}$ i $s=\sqrt[3]{\frac14}$. Mamy $rs=1$. Po zrównaniu wzorów otrzymujemy $x^2-rx+s=0.$ Wyróżnik jest równy $r^2-4s=r^2-\frac4r=\frac{r^3-4}{r}=0.$ Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, więc prosta jest styczna do paraboli.

Dla paraboli wzorcowej zrównanie z prostą daje $x^2-10x+25=(x-5)^2=0,$ czyli jeden punkt wspólny.

Sprawdzamy pozostałe parabole. Dla I wyróżnik równania przecięcia jest ujemny, więc punktów jest $0$. Dla II otrzymujemy $(x-3)^2=0$, więc punkt jest jeden. Dla III wyróżnik jest dodatni, więc są dwa punkty. Dla IV otrzymujemy $(x-7)^2=0$, więc punkt jest jeden.

Warunek między współrzędnymi ma postać $\frac34x=\frac23y,$ czyli $y=\frac98x$. Po podstawieniu do równania paraboli dostajemy $x^2-\frac18x-\frac1{32}=0.$ Pierwiastki to $x=-\frac18$ oraz $x=\frac14$. Odpowiadające rzędne, obliczone ze wzoru $y=\frac98x$, wynoszą $-\frac9{64}$ i $\frac9{32}$.