MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 198

Każdy nowy łuk wyznacza wycinek o promieniu $a$ i kącie $60^\circ$. Pole jednego fragmentu dołączonego poza trójkątem jest równe polu wycinka minus pole trójkąta:

Do trójkąta dołączono trzy takie fragmenty, zatem

Niech bok kwadratu ma długość $a$. Soczewka składa się z dwóch jednakowych odcinków koła. Każdy jest różnicą wycinka $90^\circ$ o promieniu $a$ i trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$:

Ponieważ $\pi>3$, mamy $\frac\pi2-1>\frac12$, a więc $P>\frac12a^2$. Teza została wykazana.

Z wzoru na długość łuku:

więc $r=9$. Pole wycinka wynosi $\frac{80}{360}\pi\cdot9^2=18\pi$.

Dla wycinka zachodzi $P=\frac12rL$. Z danych $12\pi=\frac12r\cdot4\pi$, więc $r=6$. Miara kąta w radianach jest równa $\alpha=L/r=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$, czyli $120^\circ$.

Jeśli środek wpisanego koła leży w odległości $d$ od wierzchołka wycinka o kącie $\alpha$, to $r=d\sin\frac\alpha2$, a ze styczności do łuku $d+r=R$.

a) Dla $\alpha=60^\circ$ mamy $r=\frac d2$ oraz $d+r=R$, zatem $r=\frac R3$.

b) Stosunek pól dużego i małego koła jest $\frac{R^2}{r^2}=3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2$, więc $\frac rR=\sqrt2-1$. Z równania $\frac rR=\frac{\sin(\alpha/2)}{1+\sin(\alpha/2)}$ otrzymujemy $\sin(\alpha/2)=\frac{\sqrt2}{2}$, czyli $\alpha=90^\circ$. Pole wycinka jest więc równe $\frac14\pi R^2$.

Pole całego koła wynosi $9\pi$. Trzeci wycinek ma więc pole $9\pi-2\pi-5\pi=2\pi$. Z zależności $P=\frac12rL$:

skąd $L=\frac43\pi$.

Pole wycinka jest proporcjonalne do kwadratu promienia i do miary kąta: $P=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2$.

Po podwojeniu promienia pole rośnie czterokrotnie, więc I jest fałszywe. Po podwojeniu kąta pole rośnie dwukrotnie, więc II jest prawdziwe.

Niech bok rombu, będący zarazem promieniem koła, ma długość $a$. Z pola rombu:

więc $a^2=4\sqrt2$. Zaznaczony jest większy wycinek o kącie $360^\circ-30^\circ=330^\circ$, zatem

Wysokość rombu wynosi $h=a\sin30^\circ=\frac12\sqrt{4\sqrt2}=\sqrt[4]{2}$.

Równość pól koła i pierścienia daje

Po skróceniu przez $\pi$ i przeniesieniu składnika otrzymujemy $r_1^2+R^2=r_2^2$. Jest to twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta o przyprostokątnych $r_1,R$ i przeciwprostokątnej $r_2$, więc taki trójkąt prostokątny można zbudować.