MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 197

Pole wycinka stanowi taką część pola koła, jaką miara kąta środkowego stanowi z $360^\circ$.

a) $\frac{80}{360}=\frac29$.

b) $\frac{135}{360}=\frac38$.

c) $\frac{180}{360}=\frac12$.

d) $\frac{90}{360}=\frac14$.

Pole odcinka jest różnicą pola wycinka i pola trójkąta utworzonego przez dwa promienie.

a) $P=\frac16\pi\cdot6^2-\frac{6^2\sqrt3}{4} =6\pi-9\sqrt3=3(2\pi-3\sqrt3)$.

b) $P=\frac14\pi\cdot2^2-\frac12\cdot2\cdot2 =\pi-2$.

c) $P=\frac13\pi\cdot12^2- \frac12\cdot12^2\sin120^\circ=48\pi-36\sqrt3 =12(4\pi-3\sqrt3)$.

Trzy zaznaczone wycinki są naprzemiennymi częściami utworzonymi przez trzy średnice. Ich kąty środkowe sumują się do $180^\circ$, więc łączna długość łuków jest połową obwodu: $\frac12\cdot12\pi=6\pi$ cm. Zdanie I jest prawdziwe.

Ich łączne pole jest połową pola koła, czyli $\frac12\pi\cdot6^2=18\pi$ cm², a nie $36\pi$ cm². Zdanie II jest fałszywe.

Każdy łuk ograniczający figurę jest łukiem o mierze $270^\circ$ i promieniu $3$ cm. Obwód wynosi więc

$$4\cdot\frac34\cdot2\pi\cdot3=18\pi\ \text{cm}.$$

Figura składa się z kwadratu o polu $36$ cm² oraz czterech wycinków będących $\frac34$ koła o promieniu $3$ cm. Stąd

$$P=36+4\cdot\frac34\cdot9\pi=36+27\pi=9(4+3\pi)\ \text{cm}^2.$$

I. Dla punktów będących końcami średnicy oba łuki są półokręgami i mają równe długości, więc zdanie jest fałszywe.

II. Wycinek $180^\circ$ stanowi połowę koła, więc zdanie jest prawdziwe.

III. $\frac{270}{360}\pi r^2=108\pi$ daje $r^2=144$, czyli $r=12>10$; zdanie jest prawdziwe.

IV. Z $6\pi=\frac{\alpha}{360^\circ}2\pi\cdot10$ otrzymujemy $\alpha=108^\circ$, więc kąt nie jest ostry. Zdanie jest fałszywe.

Niech mniejszy promień będzie równy $r$, a większy $2r$. Pole pierścienia:

$$\pi(2r)^2-\pi r^2=3\pi r^2=48\pi.$$

Stąd $r^2=16$, więc promienie wynoszą $4$ cm i $8$ cm. Długości okręgów to $2\pi\cdot4=8\pi$ cm oraz $2\pi\cdot8=16\pi$ cm.

Pole pierścienia wynosi $\pi(3^2-1^2)=8\pi$ cm². Całe koło o promieniu $3$ ma pole $9\pi$ cm², więc wycinek powinien stanowić $\frac89$ koła. Jego kąt środkowy ma miarę

$$\frac89\cdot360^\circ=320^\circ.$$