MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 196

a) Przy styczności zewnętrznej odległość nowego środka od środka danego okręgu wynosi $7+2=9$ cm. Zbiór środków jest okręgiem o promieniu $9$ cm, zatem ma długość $18\pi$ cm.

b) Przy styczności wewnętrznej ta odległość wynosi $7-2=5$ cm. Zbiór środków jest okręgiem o promieniu $5$ cm i długości $10\pi$ cm.

Niech $R>r$ będą promieniami. Styczność zewnętrzna daje $R+r=18$, a wewnętrzna $R-r=4$. Dodając równania, otrzymujemy $2R=22$, więc $R=11$. Następnie $r=18-11=7$.

Przy styczności wewnętrznej różnica promieni jest równa $10$ cm.

a) Dla promieni $4x$ i $x$ mamy $4x-x=10$, czyli $x=\frac{10}{3}$. Promienie wynoszą $\frac{10}{3}$ cm i $\frac{40}{3}$ cm.

b) Z warunku na sumę długości okręgów: $2\pi(R+r)=22\pi$, więc $R+r=11$. Układ $R-r=10$, $R+r=11$ daje $r=\frac12$ cm i $R=\frac{21}{2}$ cm.

Dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy

Z prawej nierówności mamy $r>8$. Lewa nierówność jest równoważna $-17<9-r<17$, skąd w szczególności $r<26$. Łącznie $8<r<26$.

Oznaczmy promienie okręgów o środkach $A,B$ przez $r_A,r_B$. Ze styczności zewnętrznej $AB=r_A+r_B$. Duży okrąg zawiera oba mniejsze, więc $AC=12{,}8-r_A$ i $BC=12{,}8-r_B$. Zatem

Odległość środków pierwszych dwóch okręgów wynosi $14+15=29$ i jest przeciwprostokątną. Niech $r$ będzie promieniem trzeciego okręgu.

Gdy $O_3$ jest styczny zewnętrznie do obu okręgów, przyprostokątne mają długości $r+14$ i $r+15$:

czyli $(r-6)(r+35)=0$, zatem $r=6$.

Gdy okrąg $O_3$ zawiera dwa pozostałe i jest do nich styczny wewnętrznie, przyprostokątne wynoszą $r-14$ i $r-15$. Równanie $(r-14)^2+(r-15)^2=29^2$ daje $(r-35)(r+6)=0$, więc $r=35$.

Środek szukanego okręgu jest środkiem kwadratu. Jego odległość od każdego wierzchołka wynosi połowę przekątnej, czyli $6\sqrt2$.

a) Jeśli szukany okrąg zawiera cztery dane okręgi, jego promień jest równy $6\sqrt2+r$.

b) Przy styczności zewnętrznej promienie sumują się do $6\sqrt2$, więc szukany promień wynosi $6\sqrt2-r$; jest dodatni, bo $0<r<6$.

Promienie muszą być dodatnie, zatem $m>\frac12$. Ich różnica jest stała: $r_2-r_1=4$, suma wynosi $4m+2$, a odległość środków $d=3m+1$.

Jeśli $\frac12<m<1$, to $d<4$, więc okręgi są rozłączne wewnętrznie. Dla $m=1$ mamy $d=4$ — styczność wewnętrzną. Dla $m>1$ zachodzi $4<d<4m+2$, więc okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Musi być $m>0$. Okręgi są rozłączne zewnętrznie, gdy $7>5+m$, czyli $0<m<2$. Są rozłączne wewnętrznie, gdy $7<|5-m|$. Dla $m>5$ warunek ma postać $7<m-5$, czyli $m>12$; dla $0<m\le5$ nie daje nowych rozwiązań.