MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 195

Długość łuku wyznaczonego przez kąt $\alpha$ jest równa $L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$.

Po zastąpieniu $r$ przez $2r$ długość łuku wynosi $2L$. Po zastąpieniu $\alpha$ przez $2\alpha$ również otrzymujemy $2L$. Oba zdania są prawdziwe.

Środek małego okręgu leży na dwusiecznej kąta $60^\circ$. Jeśli jego promień oznaczymy przez $\rho$, to z wewnętrznej styczności do łuku mamy $OS=2-\rho$. Odległość punktu $S$ od każdego ramienia kąta jest równa

Stąd $3\rho=2$, więc $\rho=\frac23$. Szukana długość okręgu to $2\pi\rho=\frac43\pi$.

Suma trzech kątów wynosi $360^\circ$. Jedna część stosunku ma więc miarę $360^\circ:(1+3+4)=45^\circ$, a kąty mają miary $45^\circ$, $135^\circ$ i $180^\circ$.

Promień okręgu jest równy $6$ cm, zatem jego obwód to $12\pi$ cm. Długości łuków są odpowiednimi częściami obwodu:

Długość półokręgu o średnicy $d$ wynosi $\frac{\pi d}{2}$. W każdej z obu linii średnice kolejnych półokręgów tworzą podział tego samego odcinka. Suma średnic jest zatem w obu przypadkach taka sama, więc po pomnożeniu jej przez $\frac\pi2$ otrzymujemy jednakowe długości linii.

a) W ciągu $18$ minut wskazówka minutowa wykonuje $\frac{18}{60}$ obrotu:

b) W ciągu $4{,}5$ godziny wskazówka godzinowa wykonuje $\frac{4{,}5}{12}$ obrotu:

Niech $\alpha_1,\alpha_2$ będą miarami kątów w radianach, a $r_1,r_2$ — promieniami. Dla łuku długości $L$ zachodzi

Po podzieleniu stronami otrzymujemy $\frac{\alpha_1}{\alpha_2}=\frac{r_2}{r_1}$. Stosunek kątów jest więc odwrotnością stosunku promieni, co dowodzi tezy.

Dla kąta $\alpha$ wyrażonego w radianach długość łuku wynosi $L=r\alpha$. Warunek $L=r$ daje $\alpha=1$ rad. Po przeliczeniu na stopnie:

Dla $O_1,O_2$ mamy $d=17=12+5$, więc okręgi są styczne zewnętrznie.

Ponieważ środki leżą na prostej w podanej kolejności, $|O_1O_3|=17+3=20$. Zachodzi $|20-12|<20<20+12$, więc okręgi $O_1,O_3$ przecinają się w dwóch punktach.

Dla $O_2,O_3$ odległość środków wynosi $3<20-5=15$. Mniejszy okrąg leży wewnątrz większego i okręgi nie mają punktów wspólnych.