MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 194

Długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy $\alpha$ wynosi

$$l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r.$$

Dla $r=1$ otrzymujemy kolejno:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad l&=\frac5{360}\cdot2\pi=\frac\pi{36},\\ \text{b)}\quad l&=\frac{135}{360}\cdot2\pi=\frac{3\pi}{4},\\ \text{c)}\quad l&=\frac{150}{360}\cdot2\pi=\frac{5\pi}{6},\\ \text{d)}\quad l&=\frac{255}{360}\cdot2\pi=\frac{17\pi}{12},\\ \text{e)}\quad l&=\frac{330}{360}\cdot2\pi=\frac{11\pi}{6}. \end{aligned}$$

Ze wzoru $l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r$ dla $r=12$ mamy

$$\alpha=\frac{360^\circ l}{24\pi}=\frac{15^\circ l}{\pi}.$$

Podstawiając kolejno $l=3\pi$, $8\pi$, $20\pi$ i $22\pi$, otrzymujemy $45^\circ$, $120^\circ$, $300^\circ$ i $330^\circ$.

a) Obwód wycinka jest sumą dwóch promieni i łuku:

$$2\cdot12+\frac{50^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot12 =24+\frac{10\pi}{3}\ \text{cm}.$$

b) Z rysunku odczytujemy trzy łuki okręgów o promieniu $8$ cm. Odpowiadają im kąty środkowe $30^\circ$, $30^\circ$ i $60^\circ$, więc suma ich długości to

$$\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot8=\frac{16\pi}{3}\ \text{cm}.$$

Do obwodu należą też dwa odcinki długości $8$ cm.

Cały okrąg ma długość $2\pi\cdot8=16\pi$ cm, więc rozważany łuk ma długość $16\pi-10\pi=6\pi$ cm. Zatem

$$\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot16\pi=6\pi,$$

skąd $\alpha=135^\circ$.

Niech $R$ będzie szukanym promieniem. Z równości długości okręgu i łuku mamy

$$2\pi R=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r, \qquad R=\frac{\alpha r}{360^\circ}.$$

Po podstawieniu danych otrzymujemy kolejno:

$$\text{a)}\ R=\frac{45\cdot20}{360}=2{,}5, \quad \text{b)}\ R=\frac{60\cdot12}{360}=2,$$ $$\text{c)}\ R=\frac{150\cdot32}{360}=\frac{40}{3}, \quad \text{d)}\ R=\frac{225\cdot16}{360}=10.$$

Jeśli promień zwiększono o $x$ cm, to długość okręgu zwiększyła się o

$$2\pi(6+x)-2\pi\cdot6=2\pi x.$$

Z warunku $2\pi x=5\pi$ otrzymujemy $x=2{,}5$.

Niech $\rho$ oznacza promień szukanego okręgu, a $d$ — odległość jego środka od punktu $A$.

Gdy okrąg leży w pierścieniu między danymi okręgami, warunki styczności mają postać

$$d=8+\rho,\qquad d+\rho=14.$$

Stąd $\rho=3$ cm.

Drugi wariant występuje, gdy szukany okrąg zawiera okrąg o promieniu $8$ cm i sam leży wewnątrz okręgu o promieniu $14$ cm:

$$d+8=\rho,\qquad d+\rho=14.$$

Stąd $\rho=11$ cm. Długości okręgów to odpowiednio $2\pi\rho$.

Okrąg o długości $70$ cm ma średnicę $d$ spełniającą

$$\pi d=70,\qquad d=\frac{70}{\pi}\approx22{,}28\ \text{cm}.$$

Średnica jest większa niż bok kartki, więc taki okrąg się na niej nie zmieści.

Kartkę dzielimy na cztery kwadraty o boku $10$ cm i w każdym wycinamy koło o promieniu $5$ cm. Koła mieszczą się bez nakładania, a suma ich obwodów wynosi

$$4\cdot2\pi\cdot5=40\pi\ \text{cm}\approx125{,}66\ \text{cm}>120\ \text{cm}.$$

Korzystamy ze wzoru $L=2\pi r$:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad L&=2\pi\cdot\pi=2\pi^2\ \text{cm},\\ \text{b)}\quad L&=2\pi\cdot\frac1\pi=2\ \text{cm},\\ \text{c)}\quad L&=2\pi\sqrt\pi\ \text{cm},\\ \text{d)}\quad L&=2\pi\cdot\frac1{\sqrt\pi}=2\sqrt\pi\ \text{cm}. \end{aligned}$$