MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 190

Korzystamy ze wzoru

$$\cos^2x-\sin^2x=\cos2x.$$

Dla $x=105^\circ$:

$$\cos^2105^\circ-\sin^2105^\circ =\cos210^\circ =\cos(180^\circ+30^\circ) =-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Kąt jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\frac35.$$

Z rysunku bok $LM=3$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, a $LK=8$ jest przeciwprostokątną. Zatem

$$\sin\alpha=\frac38=0{,}375.$$

Stąd

$$\alpha=\arcsin\frac38\approx22{,}0^\circ.$$

Wobec tego $21^\circ<\alpha\leq24^\circ$.

Ponieważ kąt jest ostry, $\sin\alpha>0$. Warunek

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha$$

możemy podzielić przez $\sin\alpha$. Otrzymujemy

$$\frac1{\cos\alpha}=2, \qquad \cos\alpha=\frac12.$$

Niech $AC=x$. Wtedy

$$AB=3x, \qquad BC=\frac45\cdot3x=\frac{12}{5}x.$$

Najkrótszym bokiem jest $AC$, więc najmniejszy kąt leży przy wierzchołku $B$. Z twierdzenia cosinusów:

$$\cos B =\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} =\frac{9+\frac{144}{25}-1}{2\cdot3\cdot\frac{12}{5}} =\frac{43}{45}.$$

Rozwinięcie dziesiętne ma postać

$$\frac{43}{45}=0{,}95555\ldots$$

Pierwsze trzy cyfry po przecinku to $9$, $5$, $5$.