MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 18

Z warunku $f(2)=0$ otrzymujemy $16+4k+24=0,$ więc $k=-10$. Wtedy $f(x)=x^4-10x^2+24=(x^2-4)(x^2-6).$ Miejsca zerowe to $-2$, $2$, $-\sqrt6$ i $\sqrt6$. Usuwamy z tej listy podane w treści miejsce zerowe $2$.

Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $A=(0,f(0))=(0,8).$ Miejsca zerowe wyznaczamy po podstawieniu $t=x^3$: $t^2-9t+8=(t-1)(t-8)=0.$ Stąd $x^3=1$ lub $x^3=8$, czyli $B=(1,0)$ i $C=(2,0)$. Odcinek $BC$ ma długość $1$, a wysokość opuszczona z $A$ na oś $OX$ ma długość $8$. Zatem $P_{ABC}=\frac12\cdot1\cdot8=4.$

Rozkładamy wielomian na czynniki: $f(x)=(x^2-p)(x^2-q).$ Ponieważ $0<p<q$, liczby $p$ i $q$ są dodatnie i różne. Równania $x^2=p$ oraz $x^2=q$ dają więc cztery różne miejsca zerowe $-\sqrt q,\quad -\sqrt p,\quad \sqrt p,\quad \sqrt q.$ Ich suma wynosi $-\sqrt q-\sqrt p+\sqrt p+\sqrt q=0,$ co dowodzi tezy.

Najpierw wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f$. Dla $t=x^2$ mamy $t^2-29t+100=(t-4)(t-25),$ zatem $f(u)=0$ dokładnie dla $u\in\{-5,-2,2,5\}$.

W funkcji $g$ podstawiamy $u=x+1$, w funkcji $h$ — $u=2x$, a w funkcji $k$ — $u=2-x$. Rozwiązujemy więc kolejno $x+1\in\{-5,-2,2,5\},$ $2x\in\{-5,-2,2,5\},$ $2-x\in\{-5,-2,2,5\}.$

a) Dziedzina wymaga $x\ge0$. Równanie $f(x)=x$ ma postać $2x-5\sqrt x+3=0.$ Po podstawieniu $t=\sqrt x\ge0$ dostajemy $2t^2-5t+3=(2t-3)(t-1)=0.$ Zatem $t=1$ lub $t=\frac32$, czyli $x=1$ lub $x=\frac94$.

b) Podstawmy $t=\sqrt{x+9}\ge0$, czyli $x=t^2-9$. Równanie $2x-\sqrt{x+9}-11=x$ sprowadza się do $t^2-t-20=(t-5)(t+4)=0.$ Dopuszczalne jest tylko $t=5$, skąd $x=16$.

W każdym podpunkcie podstawiamy $t=\sqrt[3]{x}$. Wówczas $\sqrt[3]{x^2}=t^2$ oraz $x=t^3$.

a) $t^2-7t+12=(t-3)(t-4)=0,$ więc $x=3^3=27$ lub $x=4^3=64$.

b) $6t^2-5t+1=(3t-1)(2t-1)=0,$ więc $x=\left(\frac13\right)^3=\frac1{27}$ lub $x=\left(\frac12\right)^3=\frac18$.

c) $4t^2+9t+2=(4t+1)(t+2)=0,$ więc $x=\left(-\frac14\right)^3=-\frac1{64}$ lub $x=(-2)^3=-8$.

Korzystamy z równości $\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$. Niech $t=|x+1|\ge0$. Ponieważ $x^2+2x=(x+1)^2-1=t^2-1$, równanie przyjmuje postać $3t=2(t^2-1),$ czyli $2t^2-3t-2=(2t+1)(t-2)=0.$ Dopuszczalne jest $t=2$. Zatem $|x+1|=2$, więc $x=1$ lub $x=-3$.

a) Niech $t=\sqrt{|x|+2}$. Wtedy $t\ge\sqrt2$ i $|x|=t^2-2$. Otrzymujemy $t^2-10t+21=(t-3)(t-7)=0.$ Dla $t=3$ mamy $|x|=7$, a dla $t=7$ mamy $|x|=47$.

b) Niech $t=\sqrt{|x|-1}\ge0$, zatem $|x|=t^2+1$. Równanie daje $6t^2-7t+2=(3t-2)(2t-1)=0.$ Dla $t=\frac23$ mamy $|x|=\frac{13}{9}$, a dla $t=\frac12$ mamy $|x|=\frac54$.

a) Dziedzina to $x\ge0$. Podstawiamy $t=\sqrt x\ge0$. Wtedy $x^3=t^6$ i $x\sqrt x=t^3$, więc $t^6-9t^3+8=0.$ Dla $u=t^3\ge0$ mamy $(u-1)(u-8)=0$, zatem $t=1$ lub $t=2$. Stąd $x=t^2$ jest równe $1$ lub $4$.

b) Ponownie $x\ge0$. Niech $u=\sqrt{x^3}\ge0$. Wtedy $u^2-3\sqrt3\,u=u(u-3\sqrt3)=0.$ Z $u=0$ otrzymujemy $x=0$, a z $u=3\sqrt3=3^{3/2}$ otrzymujemy $x=3$.

W każdym podpunkcie wyznaczamy dziedzinę pierwiastka i wykluczamy zera mianownika.

a) $x^2-|x|=|x|(|x|-1)$, więc wykluczamy $x=-1,0,1$.

b) Dla $t=|x|\ge0$ równanie mianownika to $4t^2+11t-3=0$. Jedynym nieujemnym pierwiastkiem jest $t=\frac14$, więc wykluczamy $x=\pm\frac14$.

c) Dla $t=\sqrt x\ge0$ mianownik ma postać $(4t-1)(t-1)$, więc przy $x\ge0$ wykluczamy $x=\frac1{16}$ i $x=1$.

d) Dla $t=\sqrt x\ge0$ mamy $2t^2+9t-5=(2t-1)(t+5)$, więc wykluczamy $x=\frac14$.

e) Niech $t=\sqrt{x+1}\ge0$. Wtedy mianownik jest równy $t^2-3t=t(t-3)$. Wykluczamy $t=0,3$, czyli $x=-1,8$.

f) Niech $t=\sqrt{x-1}\ge0$. Mianownik jest równy $3t^2-5t-2=(3t+1)(t-2)$. Wykluczamy $t=2$, czyli $x=5$.