MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 181

Pole czworokąta o przekątnych $d_1,d_2$ przecinających się pod kątem $\alpha$ wynosi $\frac12d_1d_2\sin\alpha$. Zatem

$P=\frac12\cdot12\cdot12\cdot\sin30^\circ=36\ \mathrm{cm}^2.$

Wysokość trapezu jest równa

$h=16\sin30^\circ=8.$

Rzut poziomy ramienia ukośnego ma długość

$16\cos30^\circ=8\sqrt3,$

więc dłuższa podstawa ma długość $16+8\sqrt3$. Zatem

=32(4+\sqrt3).$$

Niech bok rombu ma długość $a$, a jedna przekątna także $a$. Połówki przekątnych z bokiem tworzą trójkąt prostokątny, więc połowa drugiej przekątnej ma długość

$\sqrt{a^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt3}{2}.$

Druga przekątna ma zatem długość $a\sqrt3$, a pole rombu wynosi $\frac{a^2\sqrt3}{2}$.

a) Dla $a=6$:

$P=\frac{36\sqrt3}{2}=18\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$

b) Dłuższa przekątna spełnia $a\sqrt3=10$, więc $a=\frac{10\sqrt3}{3}$. Stąd

$P=\frac12\cdot a\cdot10=\frac{50\sqrt3}{3}\ \mathrm{cm}^2.$

a) Oznaczmy boki przez $x,y$. Z obwodu $x+y=18$. Jeżeli zmniejszany bok to $x$, niezmienność obwodu daje

$0{,}6x+y+4=x+y,$

stąd $0{,}4x=4$, czyli $x=10$ i $y=8$. Pole wynosi $80\ \mathrm{cm}^2$.

b) Z warunku

$(x+3)(y+3)-xy=27$

otrzymujemy $3(x+y)+9=27$, więc $x+y=6$. Po zwiększeniu obu boków o $4$ przyrost pola jest równy

$(x+4)(y+4)-xy=4(x+y)+16=40\ \mathrm{cm}^2.$

Przyjmijmy $A=(0,0)$ i $B=(6,0)$. Ponieważ $AD=4$ i $\angle DAB=60^\circ$,

$D=(2,2\sqrt3),\qquad E=(2,0).$

Kierunek boku $BC$ tworzy z osią poziomą kąt $60^\circ$. Ponieważ $DF\perp BC$, prosta $DF$ tworzy z nią kąt prosty, a z pionową $DE$ kąt $60^\circ$. Zatem $\angle EDF=60^\circ$.

Rzutując $D-B=(-4,2\sqrt3)$ na kierunek boku $BC$, otrzymujemy $BF=1$. Ponadto $DE=2\sqrt3$, $EB=4$, a $DF=3\sqrt3$. Czworokąt $EBFD$ dzielimy przekątną $DB$:

$P_{DEB}=\frac12\cdot4\cdot2\sqrt3=4\sqrt3,$

$P_{DBF}=\frac12\cdot BF\cdot DF=\frac{3\sqrt3}{2}.$

Stąd $P_{EBFD}=\frac{11\sqrt3}{2}$.

Niech przekątne mają długości $d_1>d_2$. Wtedy

$(d_1-d_2)(d_1+d_2)=d_1^2-d_2^2=20.$

Ponieważ $d_1+d_2=10$, mamy $d_1-d_2=2$. Stąd $d_1=6$, $d_2=4$, więc

$P=\frac12d_1d_2=12.$

a)

$P=\frac12\cdot4\cdot10\cdot\sin45^\circ=10\sqrt2.$

b) Przekątne leżą po przeciwnych stronach wskazanego boku, więc kąt między nimi ma miarę $25^\circ+35^\circ=60^\circ$. Jeśli dłuższą przekątną oznaczymy przez $d$, to

$24=\frac12\cdot4\cdot d\cdot\sin60^\circ.$

Stąd $d=8\sqrt3$.