MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 182

a) Kąt jest ostry, więc

=\sqrt{1-\frac49}=\frac{\sqrt5}{3}.$$ Zatem $$P=8\cdot15\cdot\frac{\sqrt5}{3}=40\sqrt5.$$ **b)** Jeśli boki oznaczymy przez $a,b$, to odpowiadające im wysokości spełniają $$4=b\sin49^\circ,\qquad 6=a\sin49^\circ.$$ Stąd $$b=\frac4{\sin49^\circ}\approx5{,}3,\qquad a=\frac6{\sin49^\circ}\approx8{,}0.$$ Pole: $$P=ab\sin49^\circ=\frac{24}{\sin49^\circ}\approx31{,}8.$$

Niech pole równoległoboku będzie równe $P$. Jeżeli wysokości są równe $3$ i $4$, to odpowiednie boki mają długości $\frac P3$ i $\frac P4$. Z obwodu:

$2\left(\frac P3+\frac P4\right)=20.$

Zatem $\frac{7P}{6}=20$, czyli

$P=\frac{120}{7}=17\frac17.$

Wysokość każdego trójkąta równobocznego o boku $12$ wynosi $6\sqrt3$. Dzięki symetrii $WXYZ$ jest kwadratem ustawionym przekątnymi równolegle do boków $ABCD$.

a) Przy konstrukcji na zewnątrz każda przekątna $WXYZ$ ma długość

$12+2\cdot6\sqrt3=12(1+\sqrt3).$

Stąd

$P=\frac12[12(1+\sqrt3)]^2=144(2+\sqrt3).$

b) Przy konstrukcji do wewnątrz długość każdej przekątnej wynosi

$2\cdot6\sqrt3-12=12(\sqrt3-1).$

Zatem

$P=\frac12[12(\sqrt3-1)]^2=144(2-\sqrt3).$

a) Ponieważ kąt jest ostry,

$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac1{25}}=\frac{2\sqrt6}{5}.$

Wysokość wynosi $h=5\sin\alpha=2\sqrt6\ \mathrm{cm}$, a pole

$P=5h=10\sqrt6\ \mathrm{cm}^2.$

b) Połówki przekątnych rombu i bok tworzą trójkąt prostokątny. Połowa krótszej przekątnej ma długość $\sqrt{14}$, więc dla drugiej przekątnej $d$:

$7^2=(\sqrt{14})^2+\left(\frac d2\right)^2.$

Stąd $d=2\sqrt{35}$ i

$P=\frac12\cdot2\sqrt{14}\cdot2\sqrt{35}=14\sqrt{10}\ \mathrm{cm}^2.$

Wysokość jest równa $h=P/7=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$.

Kąt między dwiema wysokościami jest równy kątowi między odpowiednimi bokami rombu albo jego dopełnieniu do $180^\circ$; w obu przypadkach sinus ma wartość $\sin42^\circ$. Zatem

$P=8^2\sin42^\circ\approx42{,}8\ \mathrm{cm}^2.$

a) Połowa różnicy podstaw wynosi $8$. Wysokość:

$h=\sqrt{17^2-8^2}=15.$

Zatem $P=\frac{20+4}{2}\cdot15=180$.

b) Wysokość wynosi $10\sin30^\circ=5$, a rzut każdego ramienia na dłuższą podstawę $5\sqrt3$. Dłuższa podstawa ma długość $10+10\sqrt3$, więc

$P=\frac{10+(10+10\sqrt3)}2\cdot5=25(2+\sqrt3).$

c) Wysokość wynosi $10\sqrt2\sin45^\circ=10$, a rzut każdego ramienia także $10$. Dłuższa podstawa ma długość $28$, więc $P=\frac{28+8}{2}\cdot10=180$.

d) Niech rzuty ramion na dłuższą podstawę mają długości $x,y$. Mamy $x+y=21$ oraz

$y^2-x^2=20^2-13^2=231,$

więc $y-x=11$. Stąd $x=5$, $y=16$, a wysokość $h=\sqrt{13^2-5^2}=12$. Zatem

$P=\frac{27+6}{2}\cdot12=198.$

a) Rzut ramienia na podstawę ma długość $\sqrt{7^2-(3\sqrt5)^2}=2$. Dłuższa podstawa ma więc długość $9$. Stąd

$P=\frac{5+9}{2}\cdot3\sqrt5=21\sqrt5,\qquad O=5+9+14=28.$

b) Kąt ostry ma miarę $30^\circ$. Połowa różnicy podstaw to $2\sqrt3$, zatem wysokość wynosi $2$, a ramię $4$. Stąd

$P=\frac{3\sqrt3+7\sqrt3}{2}\cdot2=10\sqrt3,$

$O=10\sqrt3+8.$

c) Oznaczmy krótszą podstawę przez $x$, a dłuższą przez $3x$. Pozioma składowa przekątnej ma długość $\frac{x+3x}{2}=2x$. Zatem

$9^2=(2x)^2+(3\sqrt5)^2,$

skąd $x=3$. Ramię ma długość $\sqrt{3^2+(3\sqrt5)^2}=3\sqrt6$. Ostatecznie

$P=\frac{3+9}{2}\cdot3\sqrt5=18\sqrt5,\qquad O=12+6\sqrt6.$

a) Ramiona mają łącznie długość $50-10-20=20$, więc każde ma długość $10$. Połowa różnicy podstaw to $5$, zatem

$h=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3.$

Pole wynosi $\frac{10+20}{2}\cdot5\sqrt3=75\sqrt3$. Ponieważ $\cos\alpha=\frac5{10}$, kąt ostry ma $60^\circ$, a rozwarty $120^\circ$.

b) Wysokość z wierzchołka kąta rozwartego odcina od dłuższej podstawy połowę różnicy podstaw, czyli $4\sqrt3$. Drugi odcinek ma długość $17$, więc suma podstaw wynosi $34$. Z obwodu każde ramię ma długość $8$. Wysokość:

$h=\sqrt{8^2-(4\sqrt3)^2}=4.$

Zatem $P=\frac{34}{2}\cdot4=68$. Kąt ostry ma sinus $\frac48=\frac12$, więc ma $30^\circ$, a rozwarty $150^\circ$.