MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 17

Podstawiamy $t=x^3$; tutaj $t$ może być dowolną liczbą rzeczywistą.

a)

$8t^2+7t-1=(8t-1)(t+1)=0.$

Z $t=\frac18$ lub $t=-1$ otrzymujemy $x=\frac12$ lub $x=-1$.

b)

$t^2-6t+5=(t-1)(t-5)=0,$

więc $x=1$ lub $x=\sqrt[3]{5}$.

c)

$3t^2+82t+27=(3t+1)(t+27)=0,$

stąd $x=-\frac{\sqrt[3]{9}}3$ lub $x=-3$.

d)

$t^2-8t-128=(t-16)(t+8)=0,$

stąd $x=2\sqrt[3]{2}$ lub $x=-2$.

W podpunktach a)–e) podstawiamy $t=x^2\geq0$.

a) $(t-1)(t-4)=0$, więc $x=\pm1,\pm2$.

b) $(t-1)(t-5)=0$, więc $x=\pm1,\pm\sqrt5$.

c) $(t-4)(t+3)=0$. Dopuszczalne jest tylko $t=4$, więc $x=\pm2$.

d)

$4t^2+5t-6=(4t-3)(t+2)=0.$

Z $t=\frac34$ otrzymujemy $x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$.

e)

$3t^2+13t+4=(3t+1)(t+4)=0.$

Oba pierwiastki w $t$ są ujemne, więc brak rozwiązań rzeczywistych.

f) Podstawiamy $t=x^3$:

$t^2-9t+8=(t-1)(t-8)=0,$

stąd $x=1$ lub $x=2$.

g) Przy $t=x^3$ mamy

$t^2+6\sqrt2t-32=(t-2\sqrt2)(t+8\sqrt2)=0.$

Zatem $x=\sqrt2$ lub $x=-2\sqrt[6]{2}$.

h) Podstawiamy $t=x^4\geq0$:

$5t^2-19t-4=(5t+1)(t-4)=0.$

Dopuszczalne jest $t=4$, zatem $x=\pm\sqrt2$.

I.

$x^2(x^2+16)=0$

ma jeden pierwiastek rzeczywisty: $x=0$.

II. Po podstawieniu $t=x^2$:

$4t^2-9t+5=(4t-5)(t-1)=0.$

Obie wartości $t=\frac54$ i $t=1$ są dodatnie, więc równanie ma cztery pierwiastki.

III.

$x^2(5-x^2)=0$

ma trzy pierwiastki: $0,\pm\sqrt5$.

IV.

$8x^4=1$

ma dwa pierwiastki rzeczywiste, przeciwne względem zera.

Liczby pierwiastków wynoszą zatem kolejno $1,4,3,2$.

Podstawiamy $t=x^2\geq0$.

I.

$t^2+8(t+2)=9\iff t^2+8t+7=0,$

czyli $(t+1)(t+7)=0$. Oba pierwiastki są ujemne, więc równanie jest sprzeczne.

II.

$t^2-6(t-2)=2\iff t^2-6t+10=0.$

Delta tego równania jest równa $36-40=-4$, więc równanie jest sprzeczne.

III. Dla $t\geq0$ mamy

$(t+1)(5t+2)\geq2,$

zatem iloczyn nie może być równy $1$. Trzecie równanie także jest sprzeczne.

Podstawiamy $t=|x|\geq0$ i korzystamy z $x^2=t^2$.

a) $(t-5)(t-7)=0$, więc $|x|=5$ lub $|x|=7$.

b)

$2t^2-13t+6=(2t-1)(t-6)=0,$

więc $|x|=\frac12$ lub $|x|=6$.

c)

$t^2-2t+0{,}96=(t-0{,}8)(t-1{,}2)=0.$

d) $t(5t-3)=0$, więc $|x|=0$ lub $|x|=\frac35$.

e) $(t-8)(t+1)=0$. Dopuszczalne jest tylko $t=8$.

f) Równanie $t^2-4t+5=0$ ma deltę $-4$, więc nie ma rozwiązań.

W każdym podpunkcie podstawiamy pierwiastek występujący w równaniu jako nową zmienną nieujemną.

a) Niech $t=\sqrt{x+8}\geq0$. Wtedy $x+8=t^2$ i

$t^2-7t+12=(t-3)(t-4)=0.$

Dla $t=3$ lub $t=4$ otrzymujemy odpowiednio $x=1$ lub $x=8$.

b) Dla $t=\sqrt{x+5}\geq0$ mamy

$t^2+t-30=(t-5)(t+6)=0.$

Dopuszczalne jest $t=5$, więc $x=20$.

c) Niech $t=\sqrt{x-9}\geq0$, zatem $x=t^2+9$. Otrzymujemy

$t^2+4t-5=(t-1)(t+5)=0.$

Dopuszczalne jest $t=1$, więc $x=10$.

d) Niech $t=\sqrt{3-x}\geq0$, zatem $x=3-t^2$. Wtedy

$-4t^2+3t=t(3-4t)=0.$

Dla $t=0$ lub $t=\frac34$ otrzymujemy $x=3$ lub $x=\frac{39}{16}$.

e) Dla $t=\sqrt{x+5}\geq0$ mamy $x=t^2-5$ i

$t^2+4t+3=(t+1)(t+3)=0.$

Oba pierwiastki są ujemne, więc brak rozwiązań.

f) Niech $t=\sqrt{x+6}\geq0$, zatem $x=t^2-6$. Równanie przyjmuje postać

$9t^2-12t+4=(3t-2)^2=0.$

Stąd $t=\frac23$ i

$x=\frac49-6=-\frac{50}{9}.$