MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 174

Dla punktu $A(x,y)$ leżącego na ramieniu końcowym kąta przyjmujemy $r=\sqrt{x^2+y^2}$ i korzystamy ze wzorów

$$\sin\alpha=\frac yr,\quad \cos\alpha=\frac xr,\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac yx,\quad \operatorname{ctg}\alpha=\frac xy.$$

a) $r=20$: $\sin\alpha=\frac45$, $\cos\alpha=\frac35$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac43$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac34$.

b) $r=10$: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=-\frac45$, $\operatorname{tg}\alpha=-\frac34$, $\operatorname{ctg}\alpha=-\frac43$.

c) $r=2\sqrt{10}$: $\sin\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac13$, $\operatorname{ctg}\alpha=3$.

d) $r=3\sqrt{10}$: $\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\operatorname{tg}\alpha=-3$, $\operatorname{ctg}\alpha=-\frac13$.

e) $r=3$: $\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3}$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}$, $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt2$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$.

f) $r=\frac32$: $\sin\alpha=\frac13$, $\cos\alpha=-\frac{2\sqrt2}{3}$, $\operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt2}{4}$, $\operatorname{ctg}\alpha=-2\sqrt2$.

Sprawdzamy odpowiednio $y/r$, $y/x$, $x/r$ lub $x/y$, pamiętając o drugiej ćwiartce w podpunktach b–d.

a) Dla $A$ mamy $r=35$ i $28/35=0{,}8$. Pozostałe punkty nie dają takiego sinusa.

b) Tylko dla $C$ zachodzi $y/x=\sqrt3/(-3)=-1/\sqrt3$.

c) Dla $A$, $B$ i $C$ iloraz $x/r$ jest równy $-3/5=-0{,}6$.

d) Dla każdego z trzech punktów $x/y=-2/3$.

Z siatki odczytujemy $O=(0,0)$, $A=(5,2)$, $B=(3,7)$ i $C=(-2,5)$. Promień $OA$ tworzy kąt $\alpha$, przekątna $OB$ kąt $45^\circ+\alpha$, a bok $OC$ kąt $90^\circ+\alpha$.

a) Nachylenia tych promieni dają

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac25,\qquad \operatorname{tg}(45^\circ+\alpha)=\frac73,\qquad \operatorname{tg}(90^\circ+\alpha)=-\frac52.$$

b) Długości $OA=OC=\sqrt{29}$ i $OB=\sqrt{58}$, stąd sinusy są równe odpowiednio

$$\frac2{\sqrt{29}},\qquad \frac7{\sqrt{58}},\qquad \frac5{\sqrt{29}}.$$

c) Cosinusy są równe

$$\frac5{\sqrt{29}},\qquad \frac3{\sqrt{58}},\qquad -\frac2{\sqrt{29}}.$$

d) Cotangensy, jako odwrotności tangensów, wynoszą

$$\frac52,\qquad \frac37,\qquad -\frac25.$$

Korzystamy z wartości funkcji dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$ oraz ze znaków w drugiej ćwiartce.

a)

$$\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cdot\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=\frac{\sqrt2}{4}.$$

b)

$$\left(\frac{\sqrt3-1}{2}\right)\left(-\frac{1+\sqrt3}{2}\right)=-\frac12.$$

c)

$$(-\sqrt3)\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)-\left(-\frac1{\sqrt3}\right)\frac{\sqrt3}{2}=2.$$

Podstawiamy $\alpha=30^\circ$, $\beta=60^\circ$.

a) $\operatorname{tg}60^\circ\operatorname{tg}120^\circ=\sqrt3(-\sqrt3)=-3$.

b) $\operatorname{tg}60^\circ\operatorname{tg}30^\circ\operatorname{tg}150^\circ\operatorname{tg}120^\circ=1$.

c) $\cos60^\circ\cos30^\circ\cos150^\circ\cos120^\circ=\frac3{16}$.

d) $\sin60^\circ\sin30^\circ\sin150^\circ\sin120^\circ=\frac3{16}$.

e) $\operatorname{ctg}30^\circ+\operatorname{ctg}60^\circ+\operatorname{ctg}150^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$.

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus, tangens i cotangens są ujemne.

a) $\cos130^\circ<0<\sin170^\circ<\sin100^\circ$, ponieważ $\sin170^\circ=\sin10^\circ$ i $\sin100^\circ=\sin80^\circ$.

b) Cosinus jest malejący na $(0^\circ,180^\circ)$, więc $\cos125^\circ<\cos105^\circ<\cos95^\circ$.

c) $\operatorname{tg}(180^\circ-x)=-\operatorname{tg}x$, a tangens rośnie dla kątów ostrych. Ponieważ $38^\circ>28^\circ>18^\circ$, otrzymujemy $\operatorname{tg}142^\circ<\operatorname{tg}152^\circ<\operatorname{tg}162^\circ$.

d) $\operatorname{ctg}(180^\circ-x)=-\operatorname{ctg}x$, a cotangens maleje dla kątów ostrych. Stąd $\operatorname{ctg}179^\circ<\operatorname{ctg}144^\circ<\operatorname{ctg}92^\circ$.