MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 175

Dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a cosinus, tangens i cotangens są ujemne. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

a) Z $\operatorname{tg}\alpha=-\frac43$ bierzemy trójkąt odniesienia o przyprostokątnych $4,3$ i przeciwprostokątnej $5$.

b) Jeśli $\cos\alpha=-\frac7{25}$, to

c) Jeśli $\sin\alpha=\frac{21}{29}$, to

Pozostałe wartości otrzymujemy z ilorazów sinusa i cosinusa.

W I ćwiartce wszystkie funkcje mają znak dodatni, a w II ćwiartce sinus jest dodatni, natomiast cosinus i tangens są ujemne.

a) Oba składniki są dodatnie, więc suma jest dodatnia.

b) $\operatorname{tg}130^\circ<0$ i $\sin20^\circ>0$, więc iloczyn jest ujemny.

c) Czynniki mają znaki kolejno $+$, $-$, $-$, więc iloczyn jest dodatni.

d) $\operatorname{tg}40^\circ>0$ i $\cos140^\circ<0$, więc odejmujemy liczbę ujemną; wynik jest dodatni.

e) Oba ilorazy są ujemne, zatem ich suma jest ujemna.

Dla punktu $P(12,5)$ odległość od początku układu wynosi $13$, więc

Kąt rozwarty o tym samym sinusie ma ramię końcowe będące odbiciem względem osi $OY$, dlatego można wybrać $Q(-12,5)$. Ponadto

a) $\operatorname{tg}54^\circ=\frac m5$, więc $m=5\operatorname{tg}54^\circ\approx6{,}88\approx7$.

b) $\operatorname{tg}40^\circ=\frac{16}{m}$, więc $m=\frac{16}{\operatorname{tg}40^\circ}\approx19{,}07\approx19$.

c) Z $\sin\alpha=0{,}6292$ mamy $\cos\alpha=\sqrt{1-0{,}6292^2}$ oraz

d) Z $\cos\alpha=0{,}8384$ mamy $\sin\alpha=\sqrt{1-0{,}8384^2}$ oraz

Z $\operatorname{tg}\alpha=\frac3{10}$ możemy przyjąć przyprostokątne $3$ i $10$, a przeciwprostokątną $\sqrt{109}$. Zatem

bo $\sqrt{109}>10$. Ponadto

gdyż po podniesieniu dodatnich stron do kwadratu nierówność jest równoważna $10000>81\cdot109=8829$.

Niech $P=(x,y)$. Z $\operatorname{tg}\alpha=2$ wynika $y=2x$ (wartości bezwzględne wystarczą do odległości). Warunek $OP=4\sqrt5$ daje

Stąd $|x|=4$ i $|y|=8$. Odległość od osi $OX$ jest równa $|y|$, a od osi $OY$ — $|x|$.

Oba kąty są ostre, a

Ponieważ $2\beta<90^\circ$, możemy obliczyć

Mamy $\frac{21}{20}>\frac{120}{119}$. Tangens jest rosnący w $(0;90^\circ)$, więc $\alpha>2\beta$.

Dla kąta ostrego warunek $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt3}{3}$ daje $\alpha=30^\circ$. Zatem $150^\circ-\alpha=120^\circ$. Korzystając z wartości funkcji dla kąta $120^\circ$, otrzymujemy wynik.

Mamy $\sin\alpha=\frac15$ oraz, ponieważ $\alpha$ jest ostry,

a) $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$, więc pierwiastek jest równy $\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sin\alpha=\frac15$.

b) Ponieważ $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, iloczyn wynosi

c) $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$, zatem

Podstawiamy wartości funkcji szczególnych i rozwiązujemy równania liniowe $f(x)=0$.

a) $\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12=0$, więc $x=-\frac{\sqrt3}{3}$.

b) $\frac{\sqrt3}{3}x+1=0$, więc $x=-\sqrt3$.

c) $-\frac{\sqrt2}{2}x+\frac{\sqrt2}{2}=0$, więc $x=1$.

d) $-\sqrt3x+\frac{\sqrt3}{2}=0$, więc $x=\frac12$.