MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 173

Oznaczmy $t=\operatorname{tg}\alpha>0$. Wtedy $\operatorname{ctg}\alpha=1/t$ i $t+1/t=3$.

a)

$$t+\frac1t=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\frac1{\sin\alpha\cos\alpha},$$

więc $\sin\alpha\cos\alpha=\frac13$.

b) $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\frac23=\frac53$, zatem suma wynosi $\frac{\sqrt{15}}3$.

c) $t^2+t^{-2}=(t+t^{-1})^2-2=7$.

d) $t^3+t^{-3}=(t+t^{-1})^3-3(t+t^{-1})=18$.

e) $t^4+t^{-4}=(t^2+t^{-2})^2-2=47$.

f)

$$\left(\sqrt t+\frac1{\sqrt t}\right)^2=t+\frac1t+2=5,$$

a wyrażenie jest dodatnie.

Ponieważ $\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha$,

$$\sin\alpha\operatorname{ctg}\alpha=\cos\alpha=\frac12.$$

Stąd $\alpha=60^\circ$. Wystarczy skonstruować trójkąt $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$, na przykład o bokach $1$, $\sqrt3$, $2$, i jako $\alpha$ wskazać kąt leżący naprzeciw boku $\sqrt3$.

a) Z $\cos\alpha=3\sin\alpha$ mamy $\operatorname{tg}\alpha=\frac13$. Przyjmując przyprostokątne $1,3$, dostajemy $\cos\alpha=\frac3{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ i $\alpha\approx18{,}4^\circ$.

b) Równość sinusa i cosinusa dla kąta ostrego daje $\alpha=45^\circ$ i $\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$.

c) Niech $x=\cos\alpha$. Warunek $\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ daje $\sin\alpha=x^2$. Z jedynki trygonometrycznej

$$x^4+x^2=1,\qquad x^2=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Zatem $\cos\alpha=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}\approx0{,}786$ i $\alpha\approx38{,}2^\circ$.

a) $\operatorname{tg}\alpha=\operatorname{ctg}\alpha$ daje $\operatorname{tg}^2\alpha=1$. Dla kąta ostrego $\operatorname{tg}\alpha=1$, więc $\alpha=45^\circ$.

b) Z $\sin\alpha=\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ wynika $\sin^2\alpha=\cos\alpha$. Jeśli $u=\cos\alpha$, to

$$1-u^2=u,\qquad u=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

Jest to liczba z przedziału $(0,1)$, więc taki kąt istnieje; $\alpha\approx51{,}8^\circ$.

c) Równość $\cos\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ po podzieleniu przez dodatni cosinus daje $\sin\alpha=1$, co nie zachodzi dla kąta ostrego.

a)

$$1+\operatorname{tg}^2\alpha =1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac1{\cos^2\alpha}.$$

b) Analogicznie

$$1+\operatorname{ctg}^2\alpha =\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} =\frac1{\sin^2\alpha}.$$

c)

$$\operatorname{tg}^2\alpha-\sin^2\alpha =\frac{\sin^2\alpha(1-\cos^2\alpha)}{\cos^2\alpha} =\operatorname{tg}^2\alpha\sin^2\alpha.$$

d)

$$\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{ctg}\alpha} =\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\sin^2\alpha.$$

e) Po zapisaniu tangensa jako ilorazu i wyłączeniu $\sin\alpha$:

$$\frac{\sin\alpha+\sin\alpha/\cos\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{\cos\alpha(1+\cos\alpha)}=\operatorname{tg}\alpha.$$

f) Korzystając z dwóch pierwszych tożsamości, składniki są równe odpowiednio $\cos^2\alpha$ i $\sin^2\alpha$, więc ich suma wynosi $1$.

Ponieważ kąt jest ostry, przy wyciąganiu pierwiastków wybieramy wartości dodatnie.

a) Z $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}.$$

b) Z $1+\operatorname{tg}^2\alpha=1/\cos^2\alpha$:

$$\sin\alpha=\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}}.$$

c)

$$\cos\alpha=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\alpha}}.$$

d) Dla $c=\cos\alpha$:

$$\operatorname{tg}^2\alpha-\operatorname{ctg}^2\alpha =\frac{1-c^2}{c^2}-\frac{c^2}{1-c^2} =\frac{1-2c^2}{c^2(1-c^2)}.$$

e) Po podzieleniu licznika i mianownika przez $\cos\alpha$ otrzymujemy

$$\frac{\operatorname{tg}\alpha-1}{\operatorname{tg}\alpha+1}.$$

f) Po podzieleniu przez $\sin\alpha$ otrzymujemy

$$\frac{1+\operatorname{ctg}\alpha}{1-\operatorname{ctg}\alpha}.$$

Dla kąta ostrego $0<\sin\alpha<1$ i $0<\cos\alpha<1$.

a) $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha>1$, zatem suma jest większa od $1$.

b) $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}>\sin\alpha$, bo $0<\cos\alpha<1$.

c) $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}>\cos\alpha$, bo $0<\sin\alpha<1$.

d) Dla $t=\operatorname{tg}\alpha>0$ nierówność $t+1/t\ge2$ wynika z $(t-1)^2\ge0$.

e) Pomnożenie $0<\sin\alpha<1$ przez dodatnie $\sin\alpha$ daje $\sin^2\alpha<\sin\alpha$.

f) Z $\cos\alpha<1$ po pomnożeniu przez dodatni sinus otrzymujemy $\sin\alpha\cos\alpha<\sin\alpha$.

Dla kąta ostrego $\cos\alpha>0$. Ponieważ $1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$,

$$\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} =\sqrt{\frac{(1+\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}} =\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$

Analogicznie drugi pierwiastek jest równy $\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Ich suma to $\frac2{\cos\alpha}$.