MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 172

Niech $\alpha+\beta=90^\circ$. Wtedy $\cos\beta=\sin\alpha$. Warunek można więc zapisać jako

$$\frac1{\sin\alpha}=2\sin\alpha,\qquad \sin^2\alpha=\frac12.$$

Ponieważ $\alpha$ jest ostry, $\alpha=45^\circ$, a także $\beta=45^\circ$.

Kąty są dopełniające, więc $\cos\beta=\sin\alpha$. Zatem

$$3\sin\alpha+\cos\beta=4\sin\alpha=2,$$

czyli $\sin\alpha=\frac12$. Stąd $\alpha=30^\circ$, $\beta=60^\circ$.

W każdym podpunkcie korzystamy z $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

a)

$$\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha.$$

b)

$$\operatorname{tg}^2\alpha(1-\sin^2\alpha) =\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cos^2\alpha=\sin^2\alpha.$$

c) Po pomnożeniu obu stron przez dodatnie $\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ lewa strona daje $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, tyle samo co prawa.

d) Po rozwinięciu kwadratów wyrazy mieszane się redukują:

$$(\sin\alpha-\cos\alpha)^2+(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 =2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=2.$$

a) Suma kwadratów rozwija się do $2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=2$.

b) $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}$, więc iloczyn wynosi $1$.

c) Pierwsze dwa składniki dają $\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha$, zatem całe wyrażenie jest równe $1$.

d)

$$\frac{\sin^2\alpha}{1+\cos\alpha}+\cos\alpha =1-\cos\alpha+\cos\alpha=1.$$

e) Dla $x=\sin^2\alpha$, $y=\cos^2\alpha$ mamy $x+y=1$ i

$$x^3+y^3+3xy=(x+y)^3=1.$$

f) Grupujemy $\frac1{\operatorname{ctg}^2\alpha}+1=\operatorname{tg}^2\alpha+1=\frac1{\cos^2\alpha}$. Po wymnożeniu otrzymujemy

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

Oznaczmy $s=\sin\alpha$, $c=\cos\alpha$.

a) $s^4+c^2-c^4=s^4+c^2(1-c^2)=s^2$.

b) $sc\operatorname{tg}\alpha-1=s^2-1=-c^2$.

c)

$$\frac{s}{1-c}+\frac{s}{1+c}=\frac{2s}{1-c^2}=\frac2s.$$

d)

$$\frac{c^3-s^3}{1+sc}=\frac{(c-s)(c^2+cs+s^2)}{1+sc}=c-s.$$

e) Po zapisaniu $\operatorname{ctg}\alpha=1/\operatorname{tg}\alpha$ iloraz redukuje się do $\operatorname{tg}\alpha$.

f) Ponieważ $\frac{c}{1+s}=\frac{1-s}{c}$,

$$\frac{c}{1+s}+\frac{s}{c}=\frac1c.$$

g) Po podstawieniu $t=\operatorname{tg}\alpha$ otrzymujemy

$$\frac{1+1/t+1/t^2}{1+t+t^2}=\frac1{t^2}=\operatorname{ctg}^2\alpha.$$

h)

$$\frac{c^2-c^2/s^2}{s^2-s^2/c^2} =\frac{-c^4/s^2}{-s^4/c^2}=\frac{c^6}{s^6}=\operatorname{ctg}^6\alpha.$$