MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 171

a) $\left(\frac{\sqrt5}{3}\right)^2+\left(\frac23\right)^2=1$, a obie wartości są dodatnie, więc taki kąt istnieje.

b) $\left(\frac16\right)^2+\left(\frac56\right)^2=\frac{13}{18}\neq1$, więc taki kąt nie istnieje.

c) Z $\operatorname{tg}\alpha=\frac7{24}$ wynika $\sin\alpha=\frac7{25}=0{,}28$, więc taki kąt istnieje.

d) Warunek $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}$ nie jest spełniony, bo

$$1+\frac{20}{49}=\frac{69}{49}\neq\frac{49}{9}.$$

a) Ponieważ $\cos59^\circ=\sin31^\circ$,

$$\cos^2 31^\circ+\cos^2 59^\circ =\cos^2 31^\circ+\sin^2 31^\circ=1.$$

b) $\cos78^\circ=\sin12^\circ$, więc licznik jest równy $0$. Ponadto $\operatorname{tg}78^\circ=\operatorname{ctg}12^\circ$, zatem mianownik jest równy $1$.

Korzystamy z funkcji kątów dopełniających:

a) $\sin62^\circ=\cos28^\circ$.

b) $\cos87^\circ=\sin3^\circ$.

c) $\operatorname{tg}59^\circ=\operatorname{ctg}31^\circ=\frac{\cos31^\circ}{\sin31^\circ}$.

Wszystkie funkcje po prawej stronie dotyczą kątów z przedziału od $0^\circ$ do $45^\circ$.

Dla każdego $x$ mamy $\sin^2x+\sin^2(90^\circ-x)=\sin^2x+\cos^2x=1$.

a) Para $10^\circ,80^\circ$ daje $1$.

b) Pary $(10^\circ,80^\circ)$ i $(20^\circ,70^\circ)$ dają $2$.

c) Dochodzi para $(30^\circ,60^\circ)$, więc wynik to $3$.

d) Dochodzi para $(40^\circ,50^\circ)$, więc wynik to $4$.

Dla kąta ostrego $x$ zachodzi

$$\operatorname{tg}x\operatorname{tg}(90^\circ-x)=\operatorname{tg}x\operatorname{ctg}x=1.$$

Łączymy czynniki w pary $(10^\circ,80^\circ)$, $(20^\circ,70^\circ)$, $(30^\circ,60^\circ)$ i $(40^\circ,50^\circ)$. Każda para ma iloczyn $1$.

Mamy

$$\operatorname{ctg}35^\circ\operatorname{ctg}55^\circ=1,\qquad \operatorname{ctg}40^\circ\operatorname{ctg}50^\circ=1,\qquad \operatorname{ctg}45^\circ=1.$$

Pozostaje $\operatorname{ctg}60^\circ=\frac1{\sqrt3}$.

Z jedynki trygonometrycznej

$$\sin^2 15^\circ=1-\frac{2+\sqrt3}{4}=\frac{2-\sqrt3}{4}.$$

Kąt jest ostry, więc $\sin15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}2$. Stąd

$$\operatorname{tg}15^\circ =\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}} =2-\sqrt3.$$

Korzystamy z zależności dla kątów dopełniających i z jedynki trygonometrycznej.

a) $\cos20^\circ-\sin70^\circ=0$.

b) $\sin^2 25^\circ+\sin^2 65^\circ=\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ=1$.

c) $\frac{\sin51^\circ}{\cos39^\circ}=1$.

d) Ponieważ $\cos65^\circ=\sin25^\circ$ i $\cos25^\circ=\sin65^\circ$, iloraz jest równy $-1$.

e) Po zastąpieniu $\sin70^\circ=\cos20^\circ$, $\cos70^\circ=\sin20^\circ$, $\cos50^\circ=\sin40^\circ$ i $\sin50^\circ=\cos40^\circ$ wszystkie czynniki się skracają; wynik to $1$.

f) $\frac{1-\sin13^\circ}{\cos13^\circ}=\frac{\cos13^\circ}{1+\sin13^\circ}$, więc różnica wynosi $0$.

g) Pierwszy składnik jest równy $\cos^2 66^\circ$, drugi $\sin^2 66^\circ$, zatem suma wynosi $1$.

h)

$$\operatorname{tg}^2x-\sin^2x-\operatorname{tg}^2x\sin^2x =\operatorname{tg}^2x\cos^2x-\sin^2x=0.$$

Niech $\alpha+\beta=90^\circ$ i załóżmy, że $\sin\alpha$ jest trzy razy mniejszy od $\sin\beta$. Ponieważ $\sin\beta=\cos\alpha$,

$$\sin\alpha=\frac13\cos\alpha,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac13.$$

Tangens drugiego kąta jest odwrotnością tej liczby.