MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 170

Korzystamy z $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ oraz $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac1{\operatorname{tg}\alpha}$. Ponieważ $\alpha$ jest ostry, wszystkie wartości są dodatnie.

a) $\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{3}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt5}{2}$.

b) $\cos\alpha=\frac{2\sqrt6}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt6}{12}$, $\operatorname{ctg}\alpha=2\sqrt6$.

c) $\sin\alpha=\frac{\sqrt{21}}5$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{21}}2$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{2\sqrt{21}}{21}$.

d) $\sin\alpha=\frac{\sqrt7}{3}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{14}}2$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt{14}}7$.

e) Możemy przyjąć przyprostokątne $3,5$, wtedy przeciwprostokątna to $\sqrt{34}$: $\sin\alpha=\frac{3\sqrt{34}}{34}$, $\cos\alpha=\frac{5\sqrt{34}}{34}$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac53$.

f) Przyprostokątne $\sqrt5,2$ dają przeciwprostokątną $3$: $\sin\alpha=\frac{\sqrt5}{3}$, $\cos\alpha=\frac23$, $\operatorname{ctg}\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}$.

g) Przyprostokątne $1,2\sqrt2$ dają przeciwprostokątną $3$: $\sin\alpha=\frac13$, $\cos\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt2}{4}$.

h) Możemy przyjąć przyprostokątne $\sqrt2,1$, a przeciwprostokątną $\sqrt3$: $\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3}$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}$, $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt2$.

Stosujemy tożsamość $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

a) $\sin^2\alpha-1+\cos^2\alpha=0$.

b) $\frac{1-\cos^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\operatorname{tg}^2\alpha$.

c) $\cos^2\alpha\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\cos^2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

d) Wyrażenie jest równe $(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2=1$.

Tangens $\frac7{24}$ odpowiada trójkątowi o przyprostokątnych $7,24$ i przeciwprostokątnej $25$. Zatem $\sin\alpha=\frac7{25}$ i $\cos\alpha=\frac{24}{25}$.

a) $\frac7{25}+\frac{24}{25}=\frac{31}{25}$.

b) $\frac7{25}-\frac{24}{25}=-\frac{17}{25}$.

c) $\frac7{25}\cdot\frac{24}{25}=\frac{168}{625}$.

d) $\sin\alpha:\cos\alpha=\operatorname{tg}\alpha=\frac7{24}$.

Z $\operatorname{tg}\alpha=\frac12$ możemy przyjąć przyprostokątne $1,2$ i przeciwprostokątną $\sqrt5$. Wtedy

Zatem

a)

b) Funkcje kątów dopełniających spełniają $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$ i $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, więc

Lewa strona jest równa $1$, zatem $\operatorname{tg}\beta=1$ i $\beta=45^\circ$. Kąty ostre trójkąta prostokątnego są dopełniające, więc $\alpha=45^\circ$.

a)

b)

c) Korzystając ze wzoru $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$,