MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 16

W każdym podpunkcie podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\geq0$.

a)

$t^2-24t-25=(t-25)(t+1)=0.$

Jedyną nieujemną wartością jest $t=25$, więc $x=\pm5$.

b)

$t^2+24t-25=(t-1)(t+25)=0.$

Z $t=1$ otrzymujemy $x=\pm1$.

c)

$4t^2+15t-4=(4t-1)(t+4)=0.$

Z $t=\frac14$ otrzymujemy $x=\pm\frac12$.

d)

$t^2+0{,}01t-0{,}002=(t-0{,}04)(t+0{,}05)=0.$

Z $t=0{,}04$ otrzymujemy $x=\pm0{,}2$.

e)

$t^2-80t-2000=(t-100)(t+20)=0.$

Z $t=100$ otrzymujemy $x=\pm10$.

f)

$t^2+6t-16=(t-2)(t+8)=0.$

Z $t=2$ otrzymujemy $x=\pm\sqrt2$.

a) $2x^4=32$, więc $x^4=16$ i $x=\pm2$.

b)

$18x^4=\frac13-\frac19=\frac29,$

zatem $x^4=\frac1{81}$ i $x=\pm\frac13$.

c) $x^4-1=80$, więc $x^4=81$ i $x=\pm3$.

d)

$48x^6=1-\frac14=\frac34,$

czyli $x^6=\frac1{64}$ i $x=\pm\frac12$.

e) $0{,}8x^6=100$, więc $x^6=125$ i $x=\pm\sqrt5$.

f)

$2(x^6-6)-4=16\iff2x^6=32,$

stąd $x^6=16$ i $x=\pm\sqrt[3]{4}$.

Wyłączamy $x^2$ przed nawias.

a)

$x^2(x^2-25)=0,$

więc $x=0$ lub $x^2=25$, czyli $x\in\{-5,0,5\}$.

b)

$x^2(9x^2-1)=0,$

stąd $x\in\left\{-\frac13,0,\frac13\right\}$.

c)

$x^2(2x^2-3)=0,$

stąd $x\in\left\{-\frac{\sqrt6}{2},0,\frac{\sqrt6}{2}\right\}$.

d)

$x^2\left(x^2-\frac19\right)=0,$

stąd $x\in\left\{-\frac13,0,\frac13\right\}$.

e) $x^2(x^2+81)=0$. Drugi czynnik jest dodatni, więc $x=0$.

f) $x^2(1+100x^2)=0$. Drugi czynnik jest dodatni, więc $x=0$.

Każda potęga ma parzysty wykładnik, więc rzeczywiste rozwiązania występują parami przeciwnych liczb.

a) $x^8=1$, zatem $x=\pm1$.

b) $x^{10}=1$, zatem $x=\pm1$.

c) $x^8=81=3^4$, zatem $x=\pm\sqrt3$.

d) $x^6=8=2^3$, zatem $x=\pm\sqrt2$.

Podstawiamy $t=x^2\geq0$.

a)

$4t^2-37t+9=(4t-1)(t-9)=0.$

Obie wartości $t=\frac14$ i $t=9$ są nieujemne, więc $x=\pm\frac12,\pm3$.

b)

$x^4-10x^2=x^2(x^2-10)=0,$

zatem $x=0$ lub $x=\pm\sqrt{10}$.

c)

$5x^4+x^2=x^2(5x^2+1)=0.$

Drugi czynnik jest dodatni, więc jedynym miejscem zerowym jest $x=0$.

d)

$t^2+5t+6=(t+2)(t+3)=0.$

Oba pierwiastki równania w $t$ są ujemne, więc funkcja nie ma rzeczywistych miejsc zerowych.

Sprawdzamy miejsca zerowe każdej funkcji.

$f(x)=x^2(5x^2+1),$

więc $f$ ma jedno miejsce zerowe: $x=0$.

Po podstawieniu $t=x^2\geq0$ otrzymujemy

$g(x)=t^2+7t+10=(t+5)(t+2),$

więc $g$ nie ma miejsc zerowych.

Dla funkcji $h$ równanie w zmiennej $t$ ma postać

$t^2-8t+20=0.$

Jego delta jest równa $64-80=-16$, więc $h$ także nie ma miejsc zerowych. Najwięcej miejsc zerowych ma zatem funkcja $f$.

Punkt przecięcia z osią $OY$ ma postać $(0,f(0))$, a punkty przecięcia z osią $OX$ odpowiadają miejscom zerowym.

a)

$f(0)=12,$

a równanie

$x^4-7x^2+12=(x^2-3)(x^2-4)=0$

daje $x=\pm\sqrt3,\pm2$.

b)

$f(0)=-16,$

oraz

$x^4-15x^2-16=(x^2-16)(x^2+1)=0,$

więc $x=\pm4$.

c)

$f(x)=16x^2(4-9x^2),$

zatem miejsca zerowe to $x=0,\pm\frac23$. Punkt $(0,0)$ należy do obu osi i zapisujemy go tylko raz.