MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 166

Z rysunku: $c$ jest przeciwprostokątną, bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, a bok $b$ naprzeciw kąta $\beta$.

a) Z twierdzenia Pitagorasa

$$c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$$

Ponadto $\operatorname{tg}\alpha=\frac12$, więc $\alpha\approx27^\circ$ i $\beta\approx63^\circ$.

b) Mamy $\beta=75^\circ$ oraz

$$a=4\sin15^\circ=\sqrt6-\sqrt2,\qquad b=4\cos15^\circ=\sqrt6+\sqrt2.$$

c) Kąt $\alpha=12^\circ$. Z zależności

$$\sin78^\circ=\frac5c,\qquad \operatorname{tg}78^\circ=\frac5a$$

otrzymujemy $c\approx5{,}11$ i $a\approx1{,}06$.

Kąt przy $B$ jest prosty, zatem $CA$ jest przeciwprostokątną. Stosujemy definicje sinusa, cosinusa i tangensa.

1. $AB=\frac2{\operatorname{tg}35^\circ}\approx2{,}86$, $CA=\frac2{\sin35^\circ}\approx3{,}49$, $\angle BCA=55^\circ$.
2. $\angle CAB=48^\circ$, $AB=10\sin42^\circ\approx6{,}69$, $BC=10\cos42^\circ\approx7{,}43$.
3. $\angle BCA=70^\circ$, $BC=\sqrt2\operatorname{tg}20^\circ\approx0{,}51$, $CA=\frac{\sqrt2}{\cos20^\circ}\approx1{,}50$.
4. $\cos\angle CAB=\frac3{3\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$, więc oba kąty ostre mają po $45^\circ$, a $BC=3$.
5. $\sin\angle CAB=\frac8{16}=\frac12$, zatem $\angle CAB=30^\circ$, $\angle BCA=60^\circ$, $AB=8\sqrt3\approx13{,}86$.

a) Niech krótsza przyprostokątna ma długość $x$, a dłuższa $4x$. Wtedy

$$x^2+(4x)^2=17x^2=(3\sqrt{17})^2,$$

więc $x=3$. Mniejszy kąt spełnia $\operatorname{tg}\alpha=\frac14$, zatem $\alpha\approx14^\circ$, a drugi kąt ma około $76^\circ$.

b) Jeśli mniejszy kąt ma miarę $\alpha$, to $\alpha+4\alpha=90^\circ$, czyli $\alpha=18^\circ$. Przyprostokątna leżąca naprzeciw niego ma długość $4$, więc

$$c=\frac4{\sin18^\circ}=4(1+\sqrt5)\approx12{,}94,\qquad b=\frac4{\operatorname{tg}18^\circ}\approx12{,}31.$$