MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 165

Połówki przekątnych rombu mają długości

$$a=15\cos35^\circ,\qquad b=15\sin35^\circ.$$

Ustawmy środek rombu i kwadratu w początku układu, a przekątne rombu na osiach. Bok rombu w pierwszej ćwiartce ma równanie

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$$

Jeśli bok kwadratu ma długość $q$, jego naroże ma współrzędne $(q/2,q/2)$, zatem

$$\frac{q}{2a}+\frac{q}{2b}=1, \qquad q=\frac{2ab}{a+b}\approx10{,}1207\ \text{m}.$$

Pole klombu wynosi więc

$$q^2\approx102{,}43\ \text{m}^2>100\ \text{m}^2.$$

Przyjmijmy $D=(0,0)$ i $B=(63,0)$. Z rysunku odcinek $BK$ tworzy z kierunkiem od $B$ do $D$ kąt $22^\circ$, więc

$$K=(63-50\cos22^\circ,\ 50\sin22^\circ).$$

Odcinek $DL$ tworzy z kierunkiem od $D$ do $B$ kąt $79^\circ$ po drugiej stronie prostej $DB$, zatem

$$L=(43\cos79^\circ,\ -43\sin79^\circ).$$

Stąd

$$|KL|=\sqrt{(x_K-x_L)^2+(y_K-y_L)^2} \approx61{,}52\ \text{m}.$$

Niech $x=|AT|$, gdzie $T$ jest podstawą wieży, a $h$ jej wysokością. Kierunki wschód–zachód i północ–południe są prostopadłe, więc

$$|BT|=\sqrt{x^2+800^2}.$$

Z kątów wzniesienia:

$$h=x\operatorname{tg}40^\circ =\sqrt{x^2+800^2}\operatorname{tg}20^\circ.$$

Po podniesieniu do kwadratu i rozwiązaniu względem $x$:

$$x=\frac{800\operatorname{tg}20^\circ}{\sqrt{\operatorname{tg}^240^\circ-\operatorname{tg}^220^\circ}} \approx385{,}13\ \text{m}.$$

Zatem

$$h=x\operatorname{tg}40^\circ\approx323{,}16\ \text{m}.$$

Ustawmy $C=(0,0)$ i $D=(10,0)$. Z położenia punktów na rysunku

$$A=(-1{,}5\cos70^\circ,\ -1{,}5\sin70^\circ),$$ $$B=(10-4\cos30^\circ,\ 4\sin30^\circ).$$

Różnice współrzędnych wynoszą więc

$$\Delta x=10-4\cos30^\circ+1{,}5\cos70^\circ,$$ $$\Delta y=4\sin30^\circ+1{,}5\sin70^\circ.$$

Stąd

$$|AB|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\approx7{,}83\ \text{km}.$$

Niech $w$ oznacza stałą odległość środka mostu od jego końca, a $x_0,x_1$ odległości kajakarza od mostu odpowiednio o 12.00 i 12.05. Z trójkątów widzenia

$$x_0=\frac{w}{\operatorname{tg}25^\circ}, \qquad x_1=\frac{w}{\operatorname{tg}30^\circ}.$$

W ciągu $5$ minut kajakarz pokonał $x_0-x_1$. Czas potrzebny po 12.05 na przebycie $x_1$ wynosi

$$t=5\cdot\frac{x_1}{x_0-x_1} =5\cdot\frac{1/\operatorname{tg}30^\circ}{1/\operatorname{tg}25^\circ-1/\operatorname{tg}30^\circ} \approx21{,}0\ \text{min}.$$

Od godziny 12.00 upłynie więc około $26$ minut.

O 15.10 wskazówka minutowa jest odchylona od godziny 12 o $10\cdot6^\circ=60^\circ$. Wskazówka godzinowa jest odchylona o

$$3\cdot30^\circ+10\cdot0{,}5^\circ=95^\circ.$$

Kąt między wskazówkami ma więc $35^\circ$. Z twierdzenia cosinusów odległość $d$ między ich końcami spełnia

$$d^2=12^2+9^2-2\cdot12\cdot9\cos35^\circ.$$

Zatem

$$d\approx6{,}93\ \text{cm}.$$