MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 164

Niech $D$ będzie rzutem prostokątnym domu $W$ na drogę.

a) Odległość domu od drogi:

$$|WD|=115\sin68^\circ\approx106{,}63\ \text{m}.$$

b) W trójkącie $WDB$:

$$|WB|=\frac{|WD|}{\sin75^\circ}\approx110{,}39\ \text{m}.$$

c) Rzuty obu ścieżek na drogę mają długości

$$|AD|=115\cos68^\circ\approx43{,}08\ \text{m},$$ $$|DB|=|WB|\cos75^\circ\approx28{,}57\ \text{m}.$$

Zatem $|AB|=|AD|+|DB|\approx71{,}65$ m.

Pierwsza drabina sięga na wysokość

$$h_1=4\sin75^\circ\approx3{,}8637\ \text{m}.$$

Dla drugiej drabiny twierdzenie Pitagorasa daje

$$h_2=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}\approx3{,}8730\ \text{m}.$$

Różnica wynosi około $0{,}0093$ m, czyli $0{,}93$ cm, a więc mniej niż $5$ cm.

Przekrój stelaża jest trójkątem równoramiennym. Połowa kąta między banerami ma $35^\circ$. Jeżeli $s$ oznacza szerokość jednego banera, to

$$\cos35^\circ=\frac{0{,}8}{s}, \qquad s=\frac{0{,}8}{\cos35^\circ}.$$

Łączna powierzchnia dwóch prostokątów wynosi

$$P=2\cdot2{,}5\cdot s =\frac4{\cos35^\circ} \approx4{,}88\ \text{m}^2.$$

Niech $x$ będzie odległością bliższego punktu obserwacji od komina, a $h$ wysokością komina. Wtedy

$$h=x\operatorname{tg}55^\circ=(x+40)\operatorname{tg}25^\circ.$$

Stąd

$$x=\frac{40\operatorname{tg}25^\circ}{\operatorname{tg}55^\circ-\operatorname{tg}25^\circ}$$

i

$$h=\frac{40\operatorname{tg}25^\circ\operatorname{tg}55^\circ}{\operatorname{tg}55^\circ-\operatorname{tg}25^\circ} \approx27{,}69\ \text{m}.$$

Niech bliższy punkt $A$ leży w odległości $x$ od wieży, a jej wysokość wynosi $h$. Wtedy

$$h=x\operatorname{tg}40^\circ=(x+100)\operatorname{tg}15^\circ.$$

Po wyeliminowaniu $x$:

$$h=\frac{100\operatorname{tg}15^\circ\operatorname{tg}40^\circ}{\operatorname{tg}40^\circ-\operatorname{tg}15^\circ} \approx39{,}37\ \text{m}.$$

Poziomy rzut każdego nasypu ma długość $6\cos40^\circ$, a wysokość wału jest równa $6\sin40^\circ$.

a) Szerokość podstawy:

$$b=5+12\cos40^\circ\approx14{,}19\ \text{m}.$$

b) Pole przekroju wynosi

$$P=\frac{5+b}{2}\cdot6\sin40^\circ \approx37{,}0102\ \text{m}^2.$$

Długość wału to $500$ m, zatem jego objętość jest równa

$$V=500P\approx18505{,}08\ \text{m}^3.$$