MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 163

Niech $x$ oznacza długość cienia całego słupa. Z definicji tangensa

$$0{,}4=\frac6x,$$

więc $x=15$ m. Cień kota kończy się $4{,}5$ m bliżej słupa, zatem odpowiadający mu poziomy odcinek ma długość $15-4{,}5=10{,}5$ m. Jeśli $h$ jest wysokością kota, to

$$\frac{h}{10{,}5}=0{,}4, \qquad h=4{,}2\ \text{m}.$$

Lina jest przeciwprostokątną, a głębokość $h$ leży naprzeciw kąta $70^\circ$. Zatem

$$h=4{,}8\sin70^\circ\approx4{,}5105\ \text{m}.$$

Jedna lina jest przeciwprostokątną trójkąta, a wysokość $4$ m leży naprzeciw kąta $75^\circ$. Jej długość wynosi

$$l=\frac4{\sin75^\circ}\approx4{,}1411\ \text{m}.$$

Cztery liny mają łącznie około $16{,}5644$ m. Po doliczeniu $2{,}4$ m na mocowania otrzymujemy

$$16{,}5644+2{,}4\approx18{,}9644\ \text{m}.$$

a) Bok $AC$ leży naprzeciw kąta $B$, a $BC$ jest przy nim, więc

$$|AC|=300\operatorname{tg}34^\circ\approx202{,}35\ \text{m}.$$

b) Teraz $BC$ leży naprzeciw kąta $A$, zatem

$$\operatorname{tg}52^\circ=\frac{500}{|AC|}, \qquad |AC|=\frac{500}{\operatorname{tg}52^\circ}\approx390{,}64\ \text{m}.$$

Różnica wysokości jest sumą pionowych składowych obu stumetrowych odcinków:

$$h=100\sin4^\circ+100\sin6^\circ \approx6{,}9756+10{,}4528 \approx17{,}4284\ \text{m}.$$

Niech $x$ będzie odległością biurka od krawędzi podłogi. W odpowiednim trójkącie prostokątnym

$$\operatorname{tg}70^\circ=\frac{60}{x},$$

więc

$$x=\frac{60}{\operatorname{tg}70^\circ}\approx21{,}84\ \text{cm}.$$

Po zaokrągleniu do centymetra otrzymujemy $22$ cm.

Niech $F$ będzie rzutem prostokątnym punktu $J$ na ulicę $AB$. Wtedy

$$|JA|=\frac{320}{\sin65^\circ},\qquad |JB|=\frac{320}{\sin40^\circ}.$$

Ponadto

$$|AF|=\frac{320}{\operatorname{tg}65^\circ},\qquad |BF|=\frac{320}{\operatorname{tg}40^\circ},$$

więc

$$|AB|=|BF|-|AF|.$$

Różnica długości dróg wynosi zatem

$$\frac{320}{\sin65^\circ} +\frac{320}{\operatorname{tg}40^\circ} -\frac{320}{\operatorname{tg}65^\circ} -\frac{320}{\sin40^\circ} \approx87{,}4\ \text{m}.$$