MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 162

Niech krótsza podstawa ma długość $a$, dłuższa $2a$, a wysokość $h$. Z obwodu

$$a+2a+h+5=20, \qquad h=15-3a.$$

Po odcięciu prostokąta przy ramieniu ukośnym powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ i $h$ oraz przeciwprostokątnej $5$. Zatem

$$a^2+(15-3a)^2=25,$$

czyli $a^2-9a+20=0$. Otrzymujemy $a=4$ lub $a=5$, ale druga wartość dawałaby $h=0$, więc $a=4$ i $h=3$. Dla kąta ostrego przy dłuższej podstawie

$$\sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\alpha=\frac45,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac34.$$

Oznaczmy $|CA|=x$. Z twierdzenia cosinusów dla boku $BC$:

$$4^2=3^2+x^2-2\cdot3x\cos30^\circ.$$

Po uporządkowaniu

$$x^2-3\sqrt3x-7=0.$$

Wyróżnik wynosi $55$, więc

$$x=\frac{3\sqrt3\pm\sqrt{55}}{2}.$$

Długość jest dodatnia, dlatego wybieramy znak plus.

Przekątne rombu są prostopadłe, dzielą się na połowy i dzielą kąty rombu na połowy. Niech $t=\operatorname{tg}\frac\alpha2$. Z trójkąta zbudowanego z połówek przekątnych

$$t=\frac{2}{\sqrt5}.$$

Korzystamy ze wzorów dla podwojonego kąta:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2t}{1-t^2} =\frac{4/\sqrt5}{1-4/5}=4\sqrt5,$$ $$\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2} =\frac{1/5}{9/5}=\frac19.$$

Zatem

$$\operatorname{tg}\alpha+9\cos\alpha=4\sqrt5+1.$$

Przekątna podstawy ma długość $x\sqrt2$. Wraz z wysokością $2x$ i przekątną prostopadłościanu tworzy trójkąt prostokątny. Przekątna bryły ma długość

$$d=\sqrt{(x\sqrt2)^2+(2x)^2}=x\sqrt6.$$

Jeżeli $\alpha$ jest kątem między obiema przekątnymi, to

$$\sin\alpha=\frac{2x}{x\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{3},$$ $$\cos\alpha=\frac{x\sqrt2}{x\sqrt6}=\frac{\sqrt3}{3}, \qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{2x}{x\sqrt2}=\sqrt2.$$

Dla kąta ostrego $0<\sin\alpha<1$ i $0<\cos\alpha<1$, ponadto $1<\sin\alpha+\cos\alpha\leq\sqrt2$.

a) $0<3-p<1$, zatem $2<p<3$.

b) $p^2+1\geq1$, więc brak wartości parametru.

c) $0<p^2-1<1$, czyli $1<p^2<2$. Stąd $p\in(-\sqrt2,-1)\cup(1,\sqrt2)$.

d) Dla $p>0$ zachodzi $p+\frac1p\geq2$, a dla $p<0$ suma jest ujemna; brak wartości.

e) $0<(p-1)^2<1$, więc $0<|p-1|<1$ i $p\in(0,1)\cup(1,2)$.

f) Dla każdego $p\ne0$ mamy $\left|p+\frac1p\right|\geq2$, co wyklucza zakres $(1,\sqrt2]$; brak wartości.

Na przedziale kątów ostrych sinus i tangens są rosnące, a cosinus i cotangens malejące.

a) $\frac13>\frac14$, więc $\alpha>\beta$.

b) $0{,}49>0{,}48$, a cosinus maleje, więc $\alpha<\beta$.

c) $3{,}2<4$, a tangens rośnie, więc $\alpha<\beta$.

d) $10<11$, a cotangens maleje, więc $\alpha>\beta$.

Niech ramię ma długość $r$. Dłuższa podstawa ma długość $2r$, więc z obwodu

$$2+2r+2r=22,$$

stąd $r=5$, a dłuższa podstawa ma długość $10$. Po opuszczeniu wysokości otrzymujemy trójkąt o przeciwprostokątnej $5$ i poziomej przyprostokątnej

$$\frac{10-2}{2}=4,$$

zatem wysokość trapezu wynosi $3$.

Poziomy rzut przekątnej ma długość $4+2=6$. Trójkąt wyznaczony przez przekątną ma więc przyprostokątne $3$ i $6$, a przeciwprostokątną $3\sqrt5$. Dla kąta $\alpha$ między przekątną a wysokością

$$\sin\alpha=\frac{6}{3\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\quad \cos\alpha=\frac{3}{3\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5},$$ $$\operatorname{tg}\alpha=2,\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac12.$$

Umieśćmy dłuższą podstawę na osi: jej końce to $(0,0)$ i $(20,0)$, a końce krótszej podstawy to $(a,12)$ i $(a+5,12)$. Wektory kierunkowe przekątnych można zapisać jako

$$(a+5,12)\quad\text{oraz}\quad(a-20,12).$$

Ich iloczyn skalarny jest równy zeru:

$$(a+5)(a-20)+144=0,$$

czyli $a^2-15a+44=0$. Stąd $a=4$ lub $a=11$; oba ustawienia są wzajemnymi odbiciami. Poziome rzuty przekątnych mają zatem długości $9$ i $16$. Przy wysokości $12$ ich długości wynoszą odpowiednio $15$ i $20$. Szukane cosinusy to

$$\frac9{15}=\frac35,\qquad \frac{16}{20}=\frac45.$$

Po opuszczeniu wysokości przy ramieniu powstaje trójkąt prostokątny. Poziomy rzut ramienia ma długość

$$\sqrt{2^2-(\sqrt3)^2}=1.$$

Różnica podstaw wynosi więc $2$. Jeżeli ich długości to $2k$ i $3k$, mamy $k=2$, czyli podstawy mają długości $4$ i $6$.

Poziomy rzut przekątnej na dłuższą podstawę ma długość

$$\frac{6+4}{2}=5.$$

Przekątna ma zatem długość $\sqrt{5^2+3}=2\sqrt7$. Jeśli $\alpha$ jest kątem nachylenia przekątnej do podstawy, to

$$\cos\alpha=\frac{5}{2\sqrt7}=\frac{5\sqrt7}{14}.$$