MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 161

Oznaczmy długość ramienia i krótszej podstawy przez $x$. Po opuszczeniu wysokości z końców krótszej podstawy otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne. Rzut każdego ramienia na dłuższą podstawę ma długość

$$x\cos30^\circ=\frac{x\sqrt3}{2}.$$

Różnica podstaw jest sumą tych dwóch rzutów, więc

$$10-x=x\sqrt3, \qquad x=\frac{10}{1+\sqrt3}=5(\sqrt3-1).$$

Obwód trapezu jest zatem równy

$$10+x+2x=10+15(\sqrt3-1)=5(3\sqrt3-1).$$

Przyjmijmy, że $\alpha$ jest mniejszym kątem ostrym, a $\beta$ większym.

a) Niech druga przyprostokątna ma długość $x$, a przeciwprostokątna $x+1$. Z twierdzenia Pitagorasa

$$5+x^2=(x+1)^2,$$

stąd $x=2$, a przeciwprostokątna ma długość $3$. Zatem

$$\sin\alpha=\frac23,\quad \cos\alpha=\frac{\sqrt5}{3},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{2\sqrt5}{5},$$ $$\sin\beta=\frac{\sqrt5}{3},\quad \cos\beta=\frac23,\quad \operatorname{tg}\beta=\frac{\sqrt5}{2}.$$

b) Niech przeciwprostokątna ma długość $c$. Druga przyprostokątna ma długość $\frac45c$, więc

$$25+\frac{16}{25}c^2=c^2.$$

Otrzymujemy $c=\frac{25}{3}$ i drugą przyprostokątną $\frac{20}{3}$. Wobec tego

$$\sin\alpha=\frac35,\quad \cos\alpha=\frac45,\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac34,$$ $$\sin\beta=\frac45,\quad \cos\beta=\frac35,\quad \operatorname{tg}\beta=\frac43.$$

Oznaczmy nieznaną przyprostokątną przez $a$, a przeciwprostokątną przez $c$. Mamy $a+c=12$. Z twierdzenia Pitagorasa

$$c^2-a^2=(4\sqrt3)^2=48.$$

Ponieważ $(c-a)(c+a)=48$ i $c+a=12$, otrzymujemy $c-a=4$. Rozwiązanie układu daje $c=8$ i $a=4$. Boki są więc w proporcji

$$4:4\sqrt3:8=1:\sqrt3:2,$$

czyli jest to trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$.

Przeciwprostokątna ma długość

$$c=\sqrt{2^2+(3\sqrt5)^2}=\sqrt{49}=7.$$

Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne do trójkąta wyjściowego. Dlatego kąty, które wysokość tworzy z przyprostokątnymi, mają te same miary co dwa kąty ostre trójkąta. Ich sinusy są zatem stosunkami przyprostokątnych do przeciwprostokątnej:

$$\frac{2}{7}\quad\text{oraz}\quad\frac{3\sqrt5}{7}.$$

Przekątna dzieli równoległobok na trójkąty mające po dwa odpowiednio równe boki przeciwległe oraz wspólną przekątną. Są więc przystające na mocy cechy bok–bok–bok.

W każdym z nich bok długości $6$ musi być przeciwprostokątną, a bok długości $3$ jest krótszą przyprostokątną. Druga przyprostokątna ma długość

$$\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3.$$

Najmniejszy kąt $\alpha$ leży naprzeciw boku długości $3$, zatem

$$\sin\alpha=\frac12,\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Stąd

$$\sin\alpha+\cos\alpha+\operatorname{tg}\alpha =\frac12+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{3} =\frac{3+5\sqrt3}{6}.$$

Trzeci kąt ma miarę

$$\angle A=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.$$

Z twierdzenia sinusów

$$\frac{|CA|}{\sin30^\circ}=\frac{2\sqrt2}{1/2}=4\sqrt2.$$

Stąd

$$|AB|=4\sqrt2\sin45^\circ=4$$

oraz, ponieważ $\sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$,

$$|BC|=4\sqrt2\sin105^\circ =\sqrt2(\sqrt6+\sqrt2)=2(1+\sqrt3).$$

Dla kąta ostrego wartości sinusa i cosinusa należą do $(0,1)$, a tangens jest dodatni.

• a) $\frac12\in(0,1)$, więc taki kąt istnieje (jest nim $30^\circ$).
• b) $\sqrt2>1$, więc nie istnieje.
• c) $\frac{\sqrt5}{2}>1$, więc nie istnieje.
• d) Licznik i mianownik są dodatnie, a licznik jest mniejszy od mianownika, więc iloraz należy do $(0,1)$; kąt istnieje.
• e) $\sqrt3+\sqrt2>1$, więc odwrotność należy do $(0,1)$; kąt istnieje.
• f) $\sqrt2-2<0$, więc nie może być tangensem kąta ostrego.
• g) $\frac\pi3>1$, więc nie może być sinusem.
• h) $0<\sin60^\circ<1$, zatem $\frac1{\sin60^\circ}>1$; taki kąt nie istnieje.

Niech $h$ oznacza wzrost człowieka, $c$ długość cienia, a $\alpha$ kąt promieni z powierzchnią ziemi. Powstaje trójkąt prostokątny, w którym

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{c}.$$

a) Dla $c=h$ mamy $\operatorname{tg}\alpha=1$, zatem $\alpha=45^\circ$.

b) Dla $c=2h$ mamy $\operatorname{tg}\alpha=\frac12$, więc $\alpha\approx26{,}6^\circ\approx27^\circ$.

c) Dla $c=\frac12h$ mamy $\operatorname{tg}\alpha=2$, więc $\alpha\approx63{,}4^\circ\approx63^\circ$.