MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 160

W pierwszym trójkącie przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{1^2+(2\sqrt2)^2}=3$. W drugim brakująca przyprostokątna ma długość $\sqrt{4^2-(\sqrt7)^2}=3$. W trzecim przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{11+5}=4$. Z położenia kątów na rysunku odczytujemy boki przeciwległe i przyległe.

Podstawiamy wartości szczególne.

a) $\frac12\cdot1-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac12-\frac12=0$.

b)

c)

Pierwszy trójkąt. Z $\operatorname{tg}\alpha=\frac43$ przyprostokątne są w stosunku $4:3$, a przeciwprostokątna odpowiada $5$ częściom. Skala wynosi $2$, więc $a=8$, $b=6$.

Drugi trójkąt. Skoro $\sin\beta=\frac5{13}$ i bok naprzeciw $\beta$ ma długość $15$, skala wynosi $3$. Stąd przeciwprostokątna $c=39$, a druga przyprostokątna $d=36$.

Trzeci trójkąt. $\cos\gamma=\frac{20}{29}$ i przeciwprostokątna ma długość $58$, więc skala wynosi $2$. Bok przyległy $f=40$, a drugi bok $e=42$ z trójki $20$–$21$–$29$.

Każdy warunek realizujemy jako stosunek boków w trójkącie prostokątnym.

a) Przyprostokątna naprzeciw kąta: $3$, przeciwprostokątna: $4$; drugi bok ma długość $\sqrt7$.

b) Przyprostokątna przyległa: $1$, przeciwprostokątna: $2$; drugi bok ma długość $\sqrt3$.

c) Przyprostokątne naprzeciwległa i przyległa: $3$ i $2$; przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{13}$.

d) Przyprostokątne przyległa i naprzeciwległa: $2$ i $1$; przeciwprostokątna ma długość $\sqrt5$.

Przyprostokątna naprzeciw kąta ma długość $c\sin\alpha$, a przyległa — $c\cos\alpha$.

a) $3\sin30^\circ=\frac32$, $3\cos30^\circ=\frac{3\sqrt3}{2}$.

b) $10\sin45^\circ=10\cos45^\circ=5\sqrt2$.

c) $\sqrt3\sin60^\circ=\frac32$, $\sqrt3\cos60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$.

Pole równoległoboku wynosi

Wysokość do boku $8$ ma długość $\frac{P}{8}=3$, a wysokość do boku $6$ — $\frac{P}{6}=4$.

Po opuszczeniu wysokości przy każdym ramieniu powstaje trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długość $4$, a przyprostokątna leżąca na dłuższej podstawie ma długość

Dla kąta ostrego $\alpha$ przy dłuższej podstawie mamy $\cos\alpha=\frac24=\frac12$, więc $\alpha=60^\circ$. Kąty przy drugiej podstawie mają po $180^\circ-60^\circ=120^\circ$.