MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 15

W podpunktach a)–d) dobieramy trójmian o końcach przedziałów równych jego miejscom zerowym. Znak nierówności wynika z kierunku ramion paraboli.

a)

$5(x+1)\left(x-\frac25\right)<0,$

czyli

$5x^2+3x-2<0.$

b)

$-2(x+1)(x-3)\geq 0,$

czyli

$-2x^2+4x+6\geq 0.$

c)

$3x(x-4)>0,$

czyli

$3x^2-12x>0.$

d)

$-2(x+2)(x-1)\leq 0,$

czyli

$-2x^2-2x+4\leq 0.$

e) Wielomian $-\frac12(x-5)^2$ jest niedodatni i zeruje się tylko dla $x=5$, więc wybieramy

$-\frac12x^2+5x-\frac{25}{2}\geq 0.$

f) Wielomian $-\frac13x^2-1$ jest zawsze ujemny, zatem nierówność

$-\frac13x^2-1>0$

nie ma rozwiązań.

g) Ponieważ $4x^2\geq 0$ dla każdego $x\in\mathbb R$, wystarczy nierówność

$4x^2\geq 0.$

h) Wielomian $-(x-4)^2$ jest ujemny poza $x=4$ i równy zeru dla $x=4$, więc

$-x^2+8x-16<0.$

a)

$x^2+(2-\sqrt2)x-2\sqrt2=(x+2)(x-\sqrt2),$

więc pierwsza nierówność daje $x\in(-2;\sqrt2)$. Z kolei

$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)<0$

daje $x\in(-4;1)$. Spójnik „i” oznacza część wspólną:

$A=(-2;1).$

b)

$2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)\leq 0,$

stąd $x\in\left\langle-2;\frac32\right\rangle$. Ponadto

$-x^2+4x+5=-(x-5)(x+1)\geq 0,$

czyli $x\in\langle-1;5\rangle$. Częścią wspólną jest

$A=\left\langle-1;\frac32\right\rangle.$

c)

$x^2-x-6=(x-3)(x+2)\geq 0$

daje $(-\infty;-2\rangle\cup\langle3;\infty)$, natomiast

$x^2-x=x(x-1)<0$

daje $(0;1)$. Spójnik „lub” oznacza sumę:

$A=(-\infty;-2\rangle\cup(0;1)\cup\langle3;\infty).$

d)

$6x^2-13x+5=(3x-5)(2x-1)\leq 0,$

więc $x\in\left\langle\frac12;\frac53\right\rangle$. Druga nierówność

$2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2)\leq 0$

daje $x\in\left\langle\frac32;2\right\rangle$. Przedziały zachodzą na siebie, zatem

$A=\left\langle\frac12;2\right\rangle.$

a)

$4x^2+20x+25=(2x+5)^2\geq 0$

dla każdego $x\in\mathbb R$.

b) Uzupełniamy kwadrat:

$-3x^2+4x-2=-3\left(x-\frac23\right)^2-\frac23<0$

dla każdego $x\in\mathbb R$.

c)

$-4x^2+12x-9=-(2x-3)^2.$

Wyrażenie jest równe zeru tylko dla $x=\frac32$, a dla pozostałych liczb rzeczywistych jest ujemne.

d)

$x(3-x)-\frac94=-x^2+3x-\frac94=-\left(x-\frac32\right)^2\leq 0.$

Nie może więc zachodzić $x(3-x)>\frac94$.

e)

$-x^2+20x-101=-(x-10)^2-1<0.$

Wyrażenie nigdy nie jest dodatnie.

a)

$2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)\geq0,$

zatem $x\leq\frac12$ lub $x\geq3$. Druga nierówność daje

$-x^2+9>0\iff -3<x<3.$

Część wspólna to $\left(-3;\frac12\right\rangle$.

b) Trójmian $-5x^2+8x-5$ ma deltę $-36$ i ujemny współczynnik przy $x^2$, więc jest ujemny dla każdego $x$. Pozostaje

$3x^2-15x+18=3(x-2)(x-3)<0,$

czyli $x\in(2;3)$.

c) Pierwsza nierówność jest spełniona dla $x\ne1$, ale

$2x^2-x+3<0$

nie ma rozwiązań, ponieważ jej delta jest równa $-23$, a współczynnik przy $x^2$ jest dodatni. Układ jest sprzeczny.

d)

$3x^2-11x-4=(3x+1)(x-4)>0,$

więc $x\in\left(-\infty;-\frac13\right)\cup(4;\infty)$. Ponadto

$2x^2+3x+\frac98=\frac18(4x+3)^2>0,$

co zachodzi dla $x\ne-\frac34$. Po przecięciu zbiorów otrzymujemy

$\left(-\infty;-\frac34\right)\cup\left(-\frac34;-\frac13\right)\cup(4;\infty).$

a) Dla $x<1$ rozwiązujemy

$x^2+2x=x(x+2)\geq0,$

co po uwzględnieniu warunku gałęzi daje $(-\infty;-2\rangle\cup\langle0;1)$. Dla $x\geq1$ mamy

$-x+4\geq0,$

czyli $x\in\langle1;4\rangle$. Razem:

$(-\infty;-2\rangle\cup\langle0;4\rangle.$

b) Dla $x<2$:

$-x^2-2x=-x(x+2)\geq0,$

stąd $x\in\langle-2;0\rangle$. Dla $x\geq2$:

$x^2-4x=x(x-4)\geq0,$

co w tej gałęzi daje $x\in\langle4;\infty)$. Zatem

$\langle-2;0\rangle\cup\langle4;\infty).$

a)

$f(x-3)=-2(x-3)^2-12(x-3)+14=-2x^2+32.$

Stąd

$-2x^2+32\geq0\iff x^2\leq16,$

więc $x\in\langle-4;4\rangle$.

b) Oznaczmy $t=2-x$. Ponieważ

$f(t)=t^2+3t-28=(t+7)(t-4),$

warunek $f(t)>0$ oznacza $t<-7$ lub $t>4$. Zatem

$2-x<-7\iff x>9,$

albo

$2-x>4\iff x<-2.$