MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 153

Punkty $P$ i $Q$ są symetryczne względem początku układu, więc

Z wykresu odczytujemy asymptoty $x=-3$ i $y=-1$. W znormalizowanej postaci mianownika mamy więc $f(x)=-1+\frac{k}{x+3}.$ Ponieważ $P(-2,-3)$ należy do wykresu, $-3=-1+\frac{k}{1},$ stąd $k=-2$. Zatem $f(x)=-1-\frac2{x+3}=\frac{-x-5}{x+3}.$ Współczynniki to $a=-1,b=-5,c=1,d=3$, a ich suma wynosi $-2$.

Mianownik zeruje się dla $x=\pm2\sqrt2\quad\text{oraz}\quad x=\pm\frac1{2\sqrt2}.$ Przedział A zawiera $-2\sqrt2$, przedziały C i D zawierają odpowiednio $-\frac1{2\sqrt2}$ i $\frac1{2\sqrt2}$. Żadnego punktu wykluczonego nie zawiera tylko przedział B.

Miejsca zerowe funkcji $f$ to $-2,-1,1,2,3$. Miejsca zerowe funkcji $g$ to $-\sqrt3,-1,\sqrt3,4$. Jedyną wspólną wartością jest $x=-1$, więc funkcje mają jedno wspólne miejsce zerowe.

Po pomnożeniu przez $x\ne0$ otrzymujemy kolejno równania kwadratowe. W przypadkach A, B i C są to odpowiednio $x^2+2x-1=0,\quad (x+1)^2=0,\quad x^2+x-2=0,$ więc każde ma rozwiązanie rzeczywiste. W D otrzymujemy $x^2+x+2=0$, którego wyróżnik $1-8$ jest ujemny.

Prawa strona wymusza $x\ge1$. Rozpisujemy moduły w punktach $\frac32$ i 2. Dla $1\le x<\frac32$ nierówność prowadzi do $x\ge\frac32$, dla $\frac32\le x\le2$ zachodzi równość stron, a dla $x>2$ otrzymujemy $x\le2$. Zatem $\langle a;b\rangle=\left\langle\frac32;2\right\rangle.$ Dokładnie te dwie liczby spełniają równanie $|4x-7|=1$.

Dla $x\ne-2,8$ obie strony są dodatnie. Nierówność jest równoważna $2|0{,}5x-4|<|x+2|,$ czyli $|x-8|<|x+2|.$ Są to liczby położone bliżej 8 niż $-2$, więc $x>3$, z wykluczeniem $x=8$. Wśród liczb naturalnych mniejszych od 10 są to $4,5,6,7,9$, czyli pięć liczb.

Mamy $u_1=1+\frac4x,\qquad u_2=1+\frac4{x+8}.$ Warunek $u_1-u_2=\frac14$ daje $\frac4x-\frac4{x+8}=\frac14,$ czyli $x(x+8)=128$. Dodatnim rozwiązaniem jest $x=8$. Wtedy $u_1=\frac32,\qquad u_2=\frac54,$ więc ich suma wynosi $\frac{11}{4}$.

Pierwszy odcinek miał długość 240 km, a drugi 120 km. Pięć godzin 20 minut to $\frac{16}{3}$ godziny, zatem $\frac{240}{v}+\frac{120}{v+30}=\frac{16}{3}.$ Po przekształceniu: $2v^2-75v-2700=0.$ Dodatni pierwiastek to $v=60$ km/h. Czas jazdy z tą prędkością wynosił $\frac{240}{60}=4$ godziny.