MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 154

Oznaczmy $t=|x|\ge0$. Równanie ma postać $|t-2|=t+2.$ Dla $t\ge2$ otrzymalibyśmy $t-2=t+2$, co jest sprzeczne. Dla $0\le t<2$ mamy $2-t=t+2$, więc $t=0$, a zatem $x=0$. Jest to dokładnie jedno rozwiązanie.

Z wykresu widać, że lewa gałąź przyjmuje wszystkie wartości z $(-\infty;2)$, a prawa wszystkie wartości z $(2;\infty)$.

Dla $p=0$ równanie oznacza $f(x)=0$ i ma jedno rozwiązanie. Dla $p=2$ równanie $f(x)=2$ nie ma rozwiązania, natomiast $f(x)=-2$ ma jedno, więc łącznie znów jest jedno rozwiązanie. Dla $p=3$ proste $y=3$ i $y=-3$ przecinają wykres po jednym razie, dając dwa rozwiązania.

Dla $x=-\sqrt[3]{3}$ mamy $x^3=-3$ oraz $x^6=9$. Zatem $f(x)=\frac{2\cdot(-3)}{9+1}=-\frac6{10}=-\frac35.$

Dla $x\le0$ równanie $x-2=1$ daje $x=3$, które nie spełnia warunku gałęzi. Dla $x>0$ mamy $|x+3|=x+3$, więc $\bigl||x+3|-4\bigr|=|x-1|.$ Równanie $|x-1|=1$ daje $x=0$ lub $x=2$, lecz warunek $x>0$ spełnia tylko $x=2$. Równanie ma zatem jedno rozwiązanie.

Środek symetrii wykresu funkcji homograficznej jest przecięciem jej asymptot. Asymptota pionowa ma równanie $x=-d$, więc z $-d=-5$ otrzymujemy $d=5$. Asymptota pozioma ma równanie $y=a$, zatem $a=3$. Wobec tego $\frac da=\frac53=1{,}666\ldots$ Cyfra jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku to kolejno 1, 6, 6.

Ponieważ $x>0$ i $y+a>0$, możemy sprowadzić lewą stronę pomniejszoną o 2 do dodatniego mianownika: