MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 152

Niech $v$ oznacza średnią prędkość przed modernizacją. Po modernizacji wynosiła $v+30$. Różnica czasów była równa godzinie: $\frac{360}{v}-\frac{360}{v+30}=1.$ Stąd $v^2+30v-10800=0.$ Dodatni pierwiastek to $v=90$ km/h.

Niech $v>2$ będzie prędkością kajakarza względem stojącej wody. Z prądem płynął z prędkością $v+2$, a pod prąd $v-2$. Droga powrotna trwała o 2 godziny dłużej: $\frac{16}{v-2}-\frac{16}{v+2}=2.$ Stąd $v^2-4=32$, więc $v=6$ km/h. Czas z prądem wynosił $\frac{16}{8}=2$ godziny, a pod prąd $\frac{16}{4}=4$ godziny.

Niech długość drogi w jedną stronę wynosi $s$, a prędkość powrotna $v$. Średnia na obu równych odcinkach spełnia $\frac{2s}{s/40+s/v}=48.$ Po skróceniu przez $s$: $\frac2{1/40+1/v}=48.$ Stąd $80v=48(v+40)$, więc $v=60$ km/h.

Warunek skrócenia przejazdu o godzinę daje $\frac{60}{v}-\frac{60}{v+3}=1.$ Stąd $v^2+3v-180=0$, a dodatni pierwiastek to $v=12$ km/h. Przy prędkości $v+6=18$ km/h czas przejazdu wyniósłby $\frac{60}{18}=\frac{10}{3}\ \text{h}=3\ \text{h}\ 20\ \text{min}.$

Każdy odcinek miał długość 80 km. Po odjęciu 15-minutowego postoju czas samej jazdy wynosił $2{,}25=\frac94$ godziny. Niech prędkość z A do B będzie równa $v$, a powrotna $v+16$. Wtedy $\frac{80}{v}+\frac{80}{v+16}=\frac94.$ Po przekształceniu: $9v^2-496v-5120=0.$ Dodatni pierwiastek to $v=64$ km/h. Kontrola: przejazdy trwały odpowiednio $1{,}25$ godziny i 1 godzinę, a z postojem łącznie $2{,}5$ godziny.