MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 151

Skan pokazuje dłuższe kreski pierwiastków niż zapis OCR. Funkcja ma postać $f(x)=\sqrt{|x-9|-3}+\frac{x}{\sqrt{|x-2|-5}}+\sqrt{\frac8{|x-6|}-1}.$ Pierwszy składnik wymaga $|x-9|\ge3$, czyli $x\le6$ lub $x\ge12$. Pierwiastek w mianowniku musi być dodatni, więc $|x-2|>5$, czyli $x<-3$ lub $x>7$. Ostatni składnik wymaga $0<|x-6|\le8,$ zatem $x\in\langle-2;6)\cup(6;14\rangle$. Częścią wspólną trzech warunków jest $\langle12;14\rangle$.

Najpierw rozwiązujemy nierówność dla $x$: $4\le|3x-2|<18.$ Otrzymujemy

Rozpisujemy moduły na przedziałach wyznaczonych przez ich miejsca zerowe.

a) Dla $x\ge2$ otrzymujemy $x-14=\frac23x$, więc $x=42$. Dla $x<2$ otrzymujemy $-x-10=\frac23x$, więc $x=-6$.

b) Dla $x\ge-4$ równanie daje $\frac32x+4=-2$, czyli $x=-4$. Drugi przypadek nie daje nowego rozwiązania.

c) Suma odległości liczby $x$ od $-6$ i 5 jest równa odległości między tymi punktami, czyli 11, dokładnie dla $x\in\langle-6;5\rangle$.

d) W przedziale $\left\langle-\frac52;7\right)$ równanie upraszcza się do $3x+5=5-x$, skąd $x=0$. Pozostałe przedziały nie dają zgodnych rozwiązań.

a) Po pomnożeniu przez 6 rozpatrujemy znak wyrażenia $3|2x-1|+3|4x+3|-2|3x-1|.$ Punkty podziału to $-\frac34,\frac13,\frac12$. Po rozpisaniu modułów wyrażenie jest dodatnie na każdym z czterech powstałych przedziałów, zatem nierówność zachodzi dla każdego $x$.

b) Prawa strona upraszcza się do $4x(x-1)$. Po podzieleniu przez 4: $x\big(|x-3|-x+1\big)\ge0.$ Dla $x<3$ otrzymujemy $2x(2-x)\ge0$, a dla $x\ge3$ nierówność $-2x\ge0$, która nie ma tam rozwiązań.

Ponieważ $x>y$, możemy zapisać $x=\frac1n,\qquad y=\frac1{n+1}$ dla dodatniej liczby naturalnej $n$. Warunek z treści ma postać $\frac1n+\frac1{n+1}=\frac1{n(n+1)}+\frac25.$ Po przeniesieniu iloczynu na lewą stronę otrzymujemy $\frac2{n+1}=\frac25,$ więc $n=4$. Zatem $x=\frac14$, $y=\frac15$, a $\frac yx=\frac45=80\%.$

Niech Staś czyta książkę przez $d$ dni, a Konrad przez $d-1$ dni. Ich dzienne liczby stron różnią się o 3: $\frac{216}{d-1}-\frac{216}{d}=3.$ Stąd $d(d-1)=72$, czyli $d^2-d-72=0.$ Dodatnim rozwiązaniem jest $d=9$.

Niech krótszy bok kartki ma długość $x$. Po odcięciu kwadratu $x\times x$ pozostaje prostokąt o bokach $x$ i $18-x$. Podobieństwo, z uwzględnieniem obrotu, daje $\frac{18}{x}=\frac{x}{18-x}.$ Stąd $x^2+18x-324=0$, a dodatni pierwiastek to $x=9(\sqrt5-1).$ Pole kwadratu wynosi $x^2=81(\sqrt5-1)^2=162(3-\sqrt5).$

Niech mianownik będzie równy $d$, a licznik $d-1$. Po opisanej zmianie ułamek ma postać $\frac{4(d-1)}{d+3}$. Warunek zwiększenia o $1{,}2=\frac65$ daje $\frac{4(d-1)}{d+3}-\frac{d-1}{d}=\frac65.$ Po uproszczeniu otrzymujemy $3d^2-16d+5=0,$ czyli $d=5$ lub $d=\frac13$. Licznik i mianownik ułamka są liczbami całkowitymi, więc wybieramy $d=5$ i licznik 4.

Niech wolniejszy automat produkuje $v$ litrów na minutę, a szybszy $v+15$. Suma czasów pracy wynosiła 65 minut: $\frac{1000}{v}+\frac{1000}{v+15}=65.$ Po przekształceniu: $13v^2-205v-3000=0.$ Dodatni pierwiastek to $v=25$. Pierwszy automat pracował więc $\frac{1000}{25}=40$ minut, a drugi, o wydajności 40 l/min, pracował $\frac{1000}{40}=25$ minut.