MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 150

Dla $x<0$ równanie ma postać $\frac6x+3=-\frac{x}{3},$ czyli $x^2+9x+18=0$. Otrzymujemy $x=-6$ lub $x=-3$, oba zgodne z warunkiem gałęzi. Dla $x>0$: $\frac6x-3=-\frac{x}{3},$ stąd $x^2-9x+18=0$ i $x=3$ lub $x=6$.

W każdym podpunkcie uwzględniamy wspólną dziedzinę $f(x)$ i $f(-x)$.

a) Dla $x\ne\pm2$ po wymnożeniu mianowników otrzymujemy $-12x=0$, więc $x=0$.

b) Dla $x\ne\pm1$ różnica stron upraszcza się do $\frac{2x(x^2-5)}{x^2-1}=0,$ zatem $x=0$ lub $x=\pm\sqrt5$.

c) Dla $x\ne0$ mamy $f(x)=\frac{x+1}{x^2}$ i $f(-x)=\frac{1-x}{x^2}$. Równość wymaga $x=0$, ale jest on wykluczony; rozwiązań brak.

d) Dla $x\ne\pm1$ różnica stron upraszcza się do $\frac{2x^3}{x^2-1}$, więc $x=0$.

Z wyrażeń wyjściowych $x\ne\pm3$. Ponieważ $B\ne0$ dla każdego dopuszczalnego $x$, $\frac AB=\frac{6x}{x^2+9}.$ Oznaczmy ten iloraz przez $r$. Równanie $\frac{1+r}{1-r}=1$ jest określone dla $r\ne1$ i daje $1+r=1-r$, czyli $r=0$. Stąd $x=0$, które spełnia wszystkie warunki dziedziny.

Punkty wspólne odpowiadają rozwiązaniom $\frac{x+3}{1-x}=x+m,\qquad x\ne1.$ Po przekształceniu otrzymujemy $x^2+mx+3-m=0.$ Są dwa różne pierwiastki rzeczywiste dokładnie wtedy, gdy $\Delta=m^2-4(3-m)=m^2+4m-12=(m+6)(m-2)>0.$ Wartość $x=1$ nigdy nie jest pierwiastkiem tego równania, więc nie trzeba wprowadzać dalszego wykluczenia.

Równanie punktów wspólnych ma postać $m+\frac4x=1-x,\qquad x\ne0,$ czyli $x^2+(m-1)x+4=0.$ Ponieważ wyraz wolny jest niezerowy, żaden pierwiastek nie będzie wykluczonym $x=0$. Co najwyżej jeden punkt wspólny występuje wtedy, gdy wyróżnik jest niedodatni: $(m-1)^2-16\le0.$

Po przeniesieniu prawej strony pierwszej nierówności i rozkładzie czynników otrzymujemy $-6\frac{(x-9)(x+2)}{5(x-3)(x+1)}<0.$ Tabela znaków daje $A=(-\infty;-2)\cup(-1;3)\cup(9;\infty).$ W drugiej nierówności, dla $x\ne\frac13$, prawa strona jest równa $-1$. Zatem

a) Pierwiastek znajduje się w mianowniku, więc $2x+3>0$.

b) Warunki to $x-2\ge0$ oraz $x^2-9\ne0$.

c) Mianownik $(x-3)(x-5)$ nie może być zerem.

d) Z pierwiastka $25-x^2\ge0$, a z mianownika $(x+3)(x-2)\ne0$.

Oznaczmy prawą stronę pierwszego równania przez $P$, a drugiego przez $Q$. Wtedy $f=\frac{P+Q}{2},\qquad g=\frac{P-Q}{2},$ więc

Równania są kolejno równoważne: $|4x+2|=\frac52,\quad |5x-2|=4,\quad |2x-1|=3,\quad |3x+1|=2.$ W I rozwiązania to $\frac18,-\frac98$, a w II $\frac65,-\frac25$, więc brak całkowitych. W III otrzymujemy $x=2,-1$, a w IV $x=\frac13,-1$.

a) Lewa strona to $-|x+4|$, więc $|x+4|=5$.

b) Lewa strona to $3|x+2|+5|x+2|=8|x+2|$, stąd $|x+2|=2$.

c) Lewa strona to $3|3x-1|+4|3x-1|=7|3x-1|$, więc $|3x-1|=3$.