MATeMAtyka 2. Zbiór zadań, strona 149 — rozwiązania zadań

Zadanie 16

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Grupujemy wyrazy: $x^8-x^5-2x^3+2=(x^3-1)(x^5-2),$ $2-2x-x^5+x^6=(x-1)(x^5-2).$ Mianownik nie może być zerem, więc $x\ne1$ oraz $x\ne\sqrt[5]{2}$ . Po skróceniu, a następnie użyciu wzoru na różnicę sześcianów:

=\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1.$$

Odpowiedź

$x^2+x+1$ , przy założeniach $x\ne1$ i $x\ne\sqrt[5]{2}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 17

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla liczb rzeczywistych $x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2).$ Przy podanych założeniach mianowniki są niezerowe, zatem lewa strona upraszcza się do $\frac{x^2-xy+y^2}{x-y}.$ Z drugiej strony

=\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} =\frac{x^2-xy+y^2}{x-y},$$ bo $x\ne-y$. Obie strony mają więc tę samą wartość.

Odpowiedź

Równość zachodzi dla wszystkich liczb spełniających $x\ne y$ i $x\ne-y$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 18

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Rozkład $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$ daje

=\frac{2x-3}{x(x-7)}.$$ Założenia z wyrażenia wyjściowego: $x\ne0,\frac32,7$. **b)** Korzystamy z rozkładów $$9x^2-1=(3x-1)(3x+1),$$ $$27x^3-1=(3x-1)(9x^2+3x+1),$$ $$3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1),$$ $$9x^2+6x+1=(3x+1)^2.$$ Po odwróceniu dzielnika i skróceniu wszystkich wspólnych czynników pozostaje $\frac13$. Założenia: $x\ne-\frac13,\frac13,1$.

Odpowiedź

a) $\frac{2x-3}{x(x-7)}$ , $x\ne0,\frac32,7$ ; b) $\frac13$ , $x\ne-\frac13,\frac13,1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 19

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wyrażenie w nawiasie upraszcza się do

=-\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}.$$ Po podzieleniu przez $\frac2{(x-2)^2}$ otrzymujemy $-\frac{x}{x+2}$. Dodanie $-\frac2{x+2}$ daje $-1$. Założenia: $x\ne-2,2$. **b)** Licznik dużego ilorazu jest równy $$\frac{3(x^2-2x+4)}{x(x-2)(x+2)},$$ a jego mianownik $$-\frac{x^2-2x+4}{2x(x+2)}.$$ Wielomian $x^2-2x+4$ nie ma rzeczywistych zer, więc po podzieleniu otrzymujemy $-\frac6{x-2}=\frac6{2-x}$. Założenia: $x\ne-2,0,2$.

Odpowiedź

a) $-1$ , $x\ne-2,2$ ; b) $\frac6{2-x}$ , $x\ne-2,0,2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 20

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Pierwsze wyrażenie upraszcza się do $A=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x+1)},$ a drugie do $B=\frac{x+1}{x(x-3)}.$ Ich iloczyn wynosi więc $A\cdot B=\frac{x}{x-1}.$ Dziedzinę wyznaczamy jednak z wyrażeń przed skracaniem. W $A$ trzeba wykluczyć $-4,-1,1$ , a w $B$ wartości $-2,0,2,3$ .

Odpowiedź

$A\cdot B=\frac{x}{x-1}$ , a dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-4,-2,-1,0,1,2,3\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 21

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw $A=(A+B+C)-(B+C)=\frac2{x^2-1}-\frac{x}{x-1}.$ Zatem $A+C=\frac2{(x-1)(x+1)}-\frac{x}{x-1}+\frac{2x}{x+1}.$ Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika licznik wynosi $2-x(x+1)+2x(x-1)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2).$ Ostatecznie otrzymujemy $\frac{x-2}{x+1}$ , przy czym z danych wyjściowych $x\ne-1,1$ .

Odpowiedź

$A+C=\frac{x-2}{x+1}$ dla $x\ne-1,1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 23

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Funkcja $f$ jest stała, gdy współczynnik przy $x$ jest równy zero i sam ułamek jest określony. Licznik $m^2-2m-8=(m-4)(m+2)$ zeruje się dla $m=4$ lub $m=-2$ , ale $m=-2$ zeruje także mianownik $(m+2)(m+4)$ . Zatem $m=4$ . Wówczas $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2},\qquad x\ne2.$ Licznik zeruje się dla $x=\pm2$ , lecz $x=2$ jest wykluczone z dziedziny.

Odpowiedź

$m=4$ , a jedynym miejscem zerowym funkcji $g$ jest $x=-2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 24

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dziedzina: $x\ne0,2$ . Po sprowadzeniu do mianownika $x(x-2)$ równanie ma licznik $x(x-8)=0$ . Wartość 0 jest wykluczona, więc $x=8$ .

b) Dziedzina: $x\ne-1,-4$ . Po pomnożeniu przez $(x+1)(x+4)$ otrzymujemy $(x+4)(x+5)=0$ . Wartość $-4$ jest wykluczona, więc $x=-5$ .

c) Dziedzina: $x\ne0,1$ . Po uproszczeniu równanie prowadzi do $8x=8$ , czyli do wykluczonej wartości $x=1$ . Rozwiązań nie ma.

d) Dziedzina: $x\ne3$ . Ponieważ $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$ , po skróceniu równanie jest równoważne $\frac4{x^2+3x+9}=\frac{x}{x^2+3x+9}$ , zatem $x=4$ .

Odpowiedź

a) $\{8\}$ ; b) $\{-5\}$ ; c) $\varnothing$ ; d) $\{4\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem