MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 14

Każdy pierwiastek wymaga nieujemności swojego wyrażenia podpierwiastkowego.

a) Pierwszy warunek daje

$$-x^2+6x-5\ge0\iff x\in\langle1;5\rangle,$$

a drugi

$$4-x^2\ge0\iff x\in\langle-2;2\rangle.$$

Dziedziną jest ich część wspólna $\langle1;2\rangle$.

b) Mamy

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\ge0,$$

czyli $x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle4;\infty)$. Ponadto

$$x-x^2+6\ge0\iff x\in\langle-2;3\rangle.$$

Ich część wspólna to $\langle-2;1\rangle$.

Po odjęciu prawej strony od lewej w pierwszej nierówności otrzymujemy

$$\left(x+\frac12\right)^2+(x-3)^2 -\left(\frac12x+1\right)^2-(3x-1)^2 =\frac{29}{4}(1-x^2).$$

Pierwsza nierówność jest więc równoważna warunkowi $1-x^2>0$, czyli $x\in(-1;1)$.

Dla drugiej nierówności analogiczne odejmowanie daje

$$\left(x-\frac12\right)^2+(x+3)^2 -\left(\frac12x-1\right)^2-(3x+1)^2 =\frac{29}{4}(1-x^2).$$

Druga nierówność jest równoważna $1-x^2\le0$, zatem zachodzi dla $x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle1;\infty)$. Otrzymane zbiory są rozłączne, a ich suma jest równa $\mathbb R$, więc każda liczba rzeczywista spełnia dokładnie jedną z podanych nierówności. Teza została wykazana.

Miejsca zerowe trójmianu $4x^2+24x-85$ to

$$x_1=\frac{-24-44}{8}=-\frac{17}{2},\qquad x_2=\frac{-24+44}{8}=\frac52.$$

Nierówność zachodzi zatem dla $-\frac{17}{2}<x<\frac52$. W przedziale $\langle-10;10\rangle$ spełnia ją $11$ liczb całkowitych: $-8,-7,\ldots,2$. Wszystkich liczb całkowitych w badanym przedziale jest $21$, więc pozostałych jest $21-11=10$.

Najpierw wyznaczamy zbiory $A$ i $B$, a następnie wykonujemy działania na przedziałach.

a)

$$A=\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(\frac23;\infty\right), \qquad B=\left\langle0;\frac{\sqrt3}{3}\right\rangle.$$

Ponieważ $\frac{\sqrt3}{3}<\frac23$, zbiory $A$ i $B$ są rozłączne.

b)

$$A=\langle-2;4\rangle, \qquad B=(-\infty;-1)\cup(7;\infty).$$

c)

$$A=(1;3), \qquad B=(-\infty;0\rangle\cup\langle1;\infty).$$

W tym przypadku $A\subset B$.

Z wykresu odczytujemy wierzchołek $(-4,-4)$ paraboli $f$ oraz jej punkt $(2,0)$. Zatem

$$f(x)=a(x+4)^2-4,$$

a po podstawieniu punktu $(2,0)$ dostajemy $36a-4=0$, czyli $a=\frac19$. Stąd

$$f(x)=\frac19(x+4)^2-4.$$

Parabola $g$ ma wierzchołek $(-1,1)$ i przechodzi przez punkt $(2,2)$. Analogicznie

$$g(x)=b(x+1)^2+1,$$

a równość $9b+1=2$ daje $b=\frac19$. Zatem

$$g(x)=\frac19(x+1)^2+1.$$

a) Porównujemy wzory:

$$f(x)-g(x)=\frac23(x-5).$$

Warunek $f(x)\ge g(x)$ zachodzi więc dla $x\ge5$.

b)

$$\frac19(x+4)^2-4>2x-x^2 \iff 10(x-2)(x+1)>0.$$

Iloczyn jest dodatni poza przedziałem między miejscami zerowymi.