MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 148

Środek symetrii wykresu funkcji homograficznej jest punktem przecięcia jej asymptot.

a) $f(x)=-3-\frac{12}{x-2}$, więc środek to $(2,-3)$. Piszemy $g(x)=\frac c{x-2}-3$. Warunek $g(0)=-2$ daje $c=-2$.

b) $f(x)=-2+\frac{10}{x+3}$, więc środek to $(-3,-2)$. Dla $g(x)=\frac c{x+3}-2$ warunek $g(0)=-4$ daje $c=-6$.

c) $f(x)=5+\frac1{x-1}$, więc środek to $(1,5)$. Dla $g(x)=\frac c{x-1}+5$ warunek $g(0)=1$ daje $c=4$.

Z zaznaczonego punktu $P(-3,1)$ odczytujemy $a=(-3)\cdot1=-3$. Punkty wspólne spełniają $-\frac3x=-\frac3{x-4}+4,\qquad x\ne0,4.$ Po przeniesieniu ułamków: $\frac{12}{x(x-4)}=4,$ czyli $x^2-4x-3=0$. Równanie ma dwa różne pierwiastki $x=2\pm\sqrt7$ i żaden nie jest wykluczony z dziedziny.

Ze źródłowego wykresu odczytujemy asymptotę pionową $x=-3$, więc $b=3$. Punkt $P(-5,4)$ należy do wykresu: $\frac{-5+a}{-5+3}=4,$ stąd $a=-3$ i $f(x)=\frac{x-3}{x+3}.$

b) Nierówność $f(x)<3$ jest równoważna $-2\frac{x+6}{x+3}<0,$ co daje $x\in(-\infty;-6)\cup(-3;\infty)$.

c) Z $f(x)=2$ otrzymujemy $x=-9$, a z $f(x)=-2$ otrzymujemy $x=-1$.

d) Nie stała funkcja homograficzna jest różnowartościowa, więc $f(x)=f(1/x)$ daje $x=1/x$. Oba rozwiązania $x=\pm1$ należą do dziedzin obu stron.

a) Z wykresu odczytujemy asymptotę $y=-1$, wartość $g(0)=1$ i miejsce zerowe $|x|=1$. Stąd $g(x)=\frac{1-|x|}{1+|x|},\qquad f(x)=\frac{1-x}{1+x}.$ Dla $x\ge0$ mamy $g(x)=f(x)$, więc $g(x)=|f(x)|$ dokładnie tam, gdzie $f(x)\ge0$, czyli dla $0\le x\le1$. Dla $x<0$ równość nie daje dalszych rozwiązań.

b) Z wykresu odczytujemy asymptoty $x=\pm2$, $y=-1$ i wartość $g(0)=1$. Zatem $g(x)=\frac{|x|+2}{2-|x|},\qquad f(x)=\frac{x+2}{2-x}.$ Dla $x\ge0$ równość $g(x)=|f(x)|$ zachodzi, gdy $f(x)\ge0$, czyli dla $0\le x<2$. Dla $x<0$ mamy $g(x)=1/f(x)$; warunek $1/f(x)=|f(x)|$ nie daje ujemnego rozwiązania.

Dziedzina wyklucza $x=3$. Równość modułów jest równoważna jednemu z dwóch równań:

Po przesunięciu $g(x)=\frac6{x-2}+1,$ zatem $h(x)=\frac6{|x|-2}+1,\qquad |x|\ne2.$ Oznaczmy $t=|x|\ge0$. Dla $0\le t<2$ wartości funkcji tworzą przedział $(-\infty;-2\rangle$, a dla $t>2$ przedział $(1;\infty)$. Zbiór wartości $h$ to więc $(-\infty;-2\rangle\cup(1;\infty).$ Najmniejszą liczbą całkowitą spoza tego zbioru jest $-1$.