MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 147

Niech $P=(x,y)$. Odległość od prostej $x=4$ spełnia $|x-4|=6$, więc $x=-2$ albo $x=10$. Ponieważ punkt leży w III ćwiartce, $x=-2$. Z kolei $|y-(-8)|=|y+8|=3,$ stąd $y=-5$ albo $y=-11$; obie wartości są ujemne. Dla punktu wykresu $y=\frac ax$ mamy $a=xy$. Otrzymujemy odpowiednio $a=10$ albo $a=22$.

Dla punktu $(x,y)$ należącego do wykresu $y=\frac ax$ zachodzi $a=xy$. Z obu danych punktów: $a=2k^2\qquad\text{oraz}\qquad a=k(k+2).$ Stąd $2k^2=k^2+2k$, czyli $k(k-2)=0$. Wartość $k=0$ jest niedopuszczalna, bo pierwsza współrzędna punktu na wykresie nie może być zerem. Zatem $k=2$, a $a=2k^2=8$.

Dla $y=2$ równanie $\frac{10}{|x|}=2$ daje $x=\pm5$, a dla $y=4$ daje $x=\pm\frac52$. Powstaje trapez o podstawach długości 10 i 5 oraz wysokości 2. Jego pole wynosi $\frac{10+5}{2}\cdot2=15.$

Funkcja $x\mapsto\frac c x$ jest rosnąca na każdym przedziale swojej dziedziny wtedy i tylko wtedy, gdy $c<0$, ponieważ jej pochodna ma postać $-\frac{c}{x^2}$. Spośród podanych współczynników tylko $1-\sqrt2<0.$

Odcinek $AB$ jest poziomą podstawą długości 4. Z warunku na pole: $\frac12\cdot4\cdot|y_P-2|=6,$ więc $|y_P-2|=3$ i $y_P=5$ albo $y_P=-1$. Dla $x_P>0$ funkcja $\frac8x+4$ przyjmuje wartości większe od 4, zatem $y_P=5$. Równanie $\frac8{x_P}+4=5$ daje $x_P=8$.

Ze źródłowego wykresu odczytujemy na przykład punkt $(0,3)$. Ponieważ $f(0)=\frac a4$, otrzymujemy $a=12$. Przesunięcie argumentu daje $g(x)=f(x-6)=\frac{12}{x-2}.$ Następnie

Mianownik można zapisać jako $(4x+3)^2(4x-3)^2=\big((4x+3)(4x-3)\big)^2=(16x^2-9)^2.$ Dla podanej wartości $x=\sqrt3-2$ żaden z czynników mianownika nie jest zerem, więc cały iloraz jest równy 1.

Dla rozważanych liczb wszystkie skracane czynniki są niezerowe. Rozkładamy: $x^4+x^3=x^3(x+1),\quad x^2-x=x(x-1),\quad x^2+x=x(x+1).$ Wyrażenie upraszcza się do $x(x+8)$. Dla $x=-5,-4,-3,-2$ przyjmuje kolejno wartości $-15,-16,-15,-12$.

Funkcję $g$ zapisujemy jako $g(x)=\frac{5/2}{x-5}+9,$ więc jej środek symetrii to $(5,9)$. Powstała ona przez przesunięcie wykresu $f$ o $\left[4\frac12,6\right]$, zatem środek wykresu $f$ ma współrzędne $\left(5-4\frac12,9-6\right)=\left(\frac12,3\right).$ Funkcja $h(x)=\frac{5/2}{x+2}+11$ ma środek $(-2,11)$. Wektor prowadzący od środka wykresu $f$ do środka wykresu $h$ to $\left[-2-\frac12,11-3\right]=\left[-2\frac12,8\right].$