MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 146

Dwa pierwsze odcinki mają równe długości, więc średnia prędkość na nich jest średnią harmoniczną: $v_{12}=\frac{2}{1/75+1/50}=60\ \text{km/h}.$ Na trzecim odcinku prędkość wynosiła zatem $60+60=120$ km/h. Jeśli cała trasa ma długość $s$, to czas przejazdu wynosi

Niech prędkości pierwszego i drugiego rowerzysty wynoszą $u$ i $v$. W ciągu pół godziny pokonali razem 15 km, więc $u+v=30.$ Pierwszy dotarł do celu o $\frac34$ godziny wcześniej, zatem $\frac{15}{v}-\frac{15}{u}=\frac34.$ Po podstawieniu $v=30-u$ otrzymujemy $u^2+10u-600=0.$ Dodatni pierwiastek to $u=20$, a wtedy $v=10$.

Niech odległość między miastami wynosi $d$, całkowity czas wędrówki pierwszego turysty $T$, a opóźnienie startu drugiego $\delta$. Prędkości wynoszą wtedy $\frac dT\quad\text{oraz}\quad\frac d{T-\delta}.$ Gdy pierwszy był w połowie drogi, upłynęło $T/2$, więc drugi przeszedł d\cdot\frac{T/2-\delta}{T-\delta}=6. \tag{1} Gdy drugi był w połowie drogi, czas od startu pierwszego wynosił $(T+\delta)/2$, zatem d\cdot\frac{T+\delta}{2T}=16. \tag{2} Po oznaczeniu $q=\delta/T$ równania mają postać $d\frac{1/2-q}{1-q}=6,\qquad d\frac{1+q}{2}=16.$ Eliminacja $q$ daje $3d^2-88d+384=0$, więc $d=24$ albo $d=\frac{16}{3}$. Dla drugiej wartości z równania (2) wyszłoby $q=5$, co przeczy $0\le q<1$.

Niech $v$ oznacza początkową prędkość samochodu, a $u$ początkową prędkość roweru. Z czasów przejazdu tam i z powrotem: