MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 145

Niech Antoni jedzie z prędkością $v$, a Czesław z prędkością $v+5$. Równe czasy przejazdu dają $\frac{135}{v}=\frac{144}{v+5}.$ Stąd $135v+675=144v$, więc $v=75$ km/h, a prędkość Czesława wynosiła 80 km/h. Czas jazdy każdego kuriera: $\frac{135}{75}=\frac{144}{80}=1{,}8\ \text{h}=1\ \text{h}\ 48\ \text{min}.$ Po dodaniu tego czasu do 8.30 otrzymujemy 10.18.

Niech pan Jerzy idzie z prędkością $v$, a pan Wojciech z prędkością $v+2{,}4$. Mimo późniejszego wyjścia Wojciech przybył wcześniej, więc czas marszu Jerzego był dłuższy o $50+25=75$ minut, czyli $1{,}25$ godziny: $\frac{18}{v}-\frac{18}{v+2{,}4}=1{,}25.$ Po przekształceniu otrzymujemy $v^2+2{,}4v-34{,}56=0$. Dodatni pierwiastek to $v=4{,}8$, zatem druga prędkość wynosi $7{,}2$ km/h.

Niech autobus jedzie z prędkością $v$, a pociąg z prędkością $v+40$. Autobus wyruszył godzinę wcześniej, a przyjechał 10 minut później, więc jego czas jazdy był dłuższy o $1\frac16=\frac76$ godziny: $\frac{175}{v}-\frac{210}{v+40}=\frac76.$ Po pomnożeniu przez $6v(v+40)$ i uproszczeniu: $v^2+70v-6000=0.$ Dodatni pierwiastek to $v=50$, więc pociąg jechał z prędkością 90 km/h.

Do chwili spotkania suma dróg wynosiła 240 km, a ich różnica 48 km. Wolniejszy samochód przejechał więc $\frac{240-48}{2}=96\ \text{km},$ a szybszy 144 km. Ponieważ czasy jazdy były równe, prędkości są w stosunku $96:144=2:3$. Oznaczmy je przez $2k$ i $3k$. Z różnicy $3k-2k=28{,}8$ otrzymujemy $k=28{,}8$.

Niech autokar jedzie z prędkością $v$, a samochód z prędkością $v+18$. Pięćdziesiąt minut to $\frac56$ godziny, więc $\frac{180}{v}-\frac{180}{v+18}=\frac56.$ Po przekształceniu: $v^2+18v-3888=0.$ Dodatni pierwiastek to $v=54$, zatem samochód jechał z prędkością 72 km/h. Autokar potrzebował $\frac{180}{54}=\frac{10}{3}\ \text{h}=3\ \text{h}\ 20\ \text{min}.$ Wyruszył o 12.45, więc przyjechał o 16.05.

Niech $t$ godzin oznacza cały czas jazdy pociągu osobowego. Pociąg pospieszny jechał wtedy $t-2$ godzin. Jeżeli odległość między stacjami wynosi $s$, to ich prędkości były równe $\frac{s}{t}$ oraz $\frac{s}{t-2}$. Do spotkania po $\frac43$ godziny suma przebytych dróg była równa $s$: $\frac43\left(\frac{s}{t}+\frac{s}{t-2}\right)=s.$ Po skróceniu przez $s$ i przekształceniu otrzymujemy $3t^2-14t+8=0.$ Pierwiastki to $t=4$ i $t=\frac23$; drugi nie spełnia warunku $t>2$.