MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 144

Niech drugi etap ma długość $x$ km. Wtedy pierwszy ma $x+22$ km, a $x+(x+22)=122,$ więc etapy miały 50 km i 72 km. Oznaczmy prędkość na pierwszym etapie przez $v$; na drugim wynosiła $v+21$. Z warunku o czasie: $\frac{72}{v}+\frac{50}{v+21}=2.$ Po przekształceniu otrzymujemy $v^2-40v-756=0$, czyli $v=54$ lub $v=-14$. Odrzucamy wartość ujemną; druga prędkość wynosiła $54+21=75$ km/h.

Niech $v$ oznacza prędkość motocykla; samochód jechał z prędkością $v+24$. Różnica czasów wynosiła godzinę: $\frac{144}{v}-\frac{144}{v+24}=1.$ Stąd $v^2+24v-3456=0$, czyli $(v-48)(v+72)=0$. Dodatni pierwiastek to $v=48$, więc prędkość samochodu wynosiła 72 km/h.

Niech $v$ oznacza prędkość rozkładową. Dwadzieścia minut to $\frac13$ godziny, zatem $\frac{180}{v}-\frac{180}{v+18}=\frac13.$ Po przekształceniu $v^2+18v-9720=0$, skąd dodatni pierwiastek to $v=90$ km/h. Przy prędkości mniejszej o 18 km/h pociąg jechałby z prędkością 72 km/h, a czas przejazdu wyniósłby $\frac{180}{72}=2{,}5\ \text{h}.$

Przy tej samej średniej prędkości czas jest proporcjonalny do długości trasy. Jeżeli podróż Andrzeja trwała $t$ minut, to podróż Szymona trwała $1{,}2t$ minut. Z różnicy czasów: $1{,}2t-t=3,$ stąd $t=15$. Czas Szymona wynosił $1{,}2\cdot15=18$ minut.

Niech każdy odcinek trasy ma długość $s$, a prędkość powrotna wynosi $v$. Średnia prędkość na całej drodze jest równa $\frac{2s}{s/3+s/v}=3{,}6.$ Po skróceniu przez $s$: $\frac{2}{1/3+1/v}=3{,}6.$ Stąd $6v=3{,}6(v+3)$, więc $v=4{,}5$ km/h.

Niech długość trasy w jedną stronę wynosi $s$, a prędkość powrotna $v$. Z definicji średniej prędkości: $\frac{2s}{s/40+s/v}=48.$ Po skróceniu przez $s$ otrzymujemy $\frac{2}{1/40+1/v}=48.$ Stąd $80v=48(v+40)$, więc $v=60$ km/h.

Niech pani Joanna jedzie z prędkością $v$, a pani Katarzyna z prędkością $v+21$. Różnica czasów przejazdu wynosiła 2 godziny 20 minut, czyli $\frac73$ godziny: $\frac{60}{v}-\frac{60}{v+21}=\frac73.$ Po pomnożeniu przez $3v(v+21)$ otrzymujemy $7v^2+147v-3780=0,$ czyli $v^2+21v-540=0$. Dodatni pierwiastek to $v=15$, a druga prędkość wynosi $36$ km/h.

Niech autobus jedzie z prędkością $v$, a taksówka z prędkością $v+20$. Taksówka wyruszyła $\frac1{12}$ godziny później, lecz dotarła równocześnie: $\frac{20}{v}-\frac{20}{v+20}=\frac1{12}.$ Stąd $v^2+20v-4800=0$. Dodatni pierwiastek wynosi $v=60$.