MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 142

Niech $x$ i $y$ oznaczają czasy samodzielnej pracy ojca i syna. Ojciec przez pierwsze 2 godziny zebrał połowę plonów, zatem $\frac2x=\frac12,$ więc $x=4$. Przez pozostałe 8 godzin obaj zebrali drugą połowę: $8\left(\frac14+\frac1y\right)=\frac12.$ Stąd $\frac1y=\frac1{16}$, czyli $y=16$.

Niech $x$ i $y$ będą czasami samodzielnej pracy egzaminatorów. Z pracy równoczesnej mamy $\frac1x+\frac1y=\frac1{12}.$ Praca wykonywana kolejno po połowie trwałaby $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=25,$ czyli $x+y=50$. Pierwsze równanie daje $\frac{x+y}{xy}=\frac1{12}$, więc $xy=600$. Liczby $x,y$ są zatem pierwiastkami równania $t^2-50t+600=0,$ czyli $t=20$ lub $t=30$.

Niech $t$ oznacza liczbę godzin od 8.00 do wspólnego zakończenia pracy. Ponieważ obaj sprawdzili po połowie testów, czasy samodzielnego wykonania całej pracy wynoszą odpowiednio $2t$ i $2(t-2)$. Do godziny 14.00 pierwszy pracował 6 godzin, a drugi 4 godziny, więc $\frac6{2t}+\frac4{2(t-2)}=\frac{55}{100}.$ Po uproszczeniu: $\frac3t+\frac2{t-2}=\frac{11}{20},$ skąd $11t^2-122t+120=0$. Pierwiastki to $t=10$ oraz $t=\frac{12}{11}$; drugi odrzucamy, bo $t>2$. Zatem czasy samodzielnej pracy to $2t=20$ i $2(t-2)=16$ godzin.

Niech $x$ minut oznacza czas napełniania zbiornika szybszą, czyli drugą z opisanych rur. Rura potrzebująca więcej czasu napełniałaby zbiornik w $x+11$ minut. Ponieważ razem robią to w 30 minut, $\frac1x+\frac1{x+11}=\frac1{30}.$ Po pomnożeniu przez $30x(x+11)$ otrzymujemy $x^2-49x-330=0,$ czyli $(x-55)(x+6)=0$. Dodatni pierwiastek to $x=55$.

Oznaczmy wydajności trzech kranów przez $a,b,c$ (część basenu na godzinę). Dane dają $a+b=\frac19,\qquad b+c=\frac1{12},\qquad a+c=\frac1{18}.$ Po dodaniu równań otrzymujemy $2(a+b+c)=\frac19+\frac1{12}+\frac1{18}=\frac14,$ zatem łączna wydajność wszystkich kranów wynosi $\frac18$ basenu na godzinę.