MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 141

Niech początkowo zaproszenia miało wypisywać $n$ osób. Po nieobecności dwóch osób: $\frac{72}{n-2}=\frac{72}{n}+6.$ Po pomnożeniu przez $n(n-2)$ otrzymujemy $n(n-2)=24$, więc $n=6$. Faktycznie pracowały $n-2$ osoby.

Niech bok mniejszego kwadratu ma długość $x$, a większego $x+2$. Oznaczmy $r=\frac{x+2}{x}>1$. Z warunku: $r^2-r=\frac5{16}.$ Równanie $16r^2-16r-5=0$ daje dodatnią wartość $r=\frac54$. Zatem $\frac{x+2}{x}=\frac54,$ czyli $x=8$.

Niech samodzielny czas Bolka wynosi $x$ godzin, a Lolka $x+2$ godzin. Przez pół godziny wykonali wspólnie część $\frac12(\frac1x+\frac1{x+2})$, a następnie Bolek pracował $\frac54$ godziny. Stąd $\frac12\left(\frac1x+\frac1{x+2}\right)+\frac{5}{4x}=1.$ Dodatnim rozwiązaniem jest $x=2$.

Niech samodzielne czasy Bolka i Lolka wynoszą $x$ i $y$. Otrzymujemy układ

Niech druga tłumaczka tłumaczy $x$ stron na godzinę, a pierwsza $x+2$. Warunek czasu: $\frac{27}{x+2}=\frac{35}{x}-2.$ Po usunięciu mianowników otrzymujemy równanie kwadratowe, którego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest $x=7$. Sprawdzenie: pierwsza pracuje 3 godziny, druga 5 godzin.

Niech mniejszy wielokąt ma $n$ boków. Różnica miar kątów wynosi

Niech słabsza pompa opróżnia zbiornik w $x$ godzin, a obie razem w $T$ godzin. Z treści $x=3T$, więc wydajność obu pomp wynosi $1/T=3/x$. Jednocześnie $\frac18+\frac1x=\frac3x.$ Stąd $x=16$.

Niech wspólne kopiowanie trwa $t$ minut. Pierwsza kopiarka wykonałaby tę pracę w $3t$ minut, a druga w $t+4$ minut. Suma wydajności daje $\frac1{3t}+\frac1{t+4}=\frac1t.$ Po pomnożeniu przez $3t(t+4)$: $t+4+3t=3(t+4),$ stąd $t=8$.