MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 140

Niech $x$ oznacza mianownik szukanego ułamka. Z warunku: $\frac8{x+12}=0{,}64\cdot\frac5x=\frac{16}{5x}.$ Po pomnożeniu przez $5x(x+12)$ mamy $40x=16x+192,$ stąd $x=8$.

Przy stałej temperaturze iloczyn ciśnienia i objętości jest stały: $pV=6\cdot10=60.$ a) Dla $p=5$ mamy $V=60/5=12$ l.
b) Dla $V=15$ mamy $p=60/15=4$ atm.

Każdy ułamek równy $\frac4{11}$ ma postać $\frac{4k}{11k}$. Różnica mianownika i licznika wynosi $7k$, więc $7k=546,\qquad k=78.$ Zatem licznik to $4\cdot78=312$, a mianownik $11\cdot78=858$.

Niech $y$ będzie cyfrą jedności, wtedy cyfra dziesiątek to $y+2$. Liczba ma postać $p=11y+20$, a liczba z przestawionymi cyframi $11y+2$. Warunek daje

Dla $x\ne0$:

Początkowy iloraz to $7{,}2:4{,}5=1{,}6$, po zmianie ma więc wartość $1{,}28$. Układamy równanie $\frac{7{,}2+a}{4{,}5+a}=1{,}28.$ Stąd $7{,}2+a=5{,}76+1{,}28a$, czyli $0{,}28a=1{,}44$.

Niech $n$ będzie liczbą sadzonek, a $p=294/n$ ceną jednej. Sprzedano $n-3$ sadzonki po $p+4$ zł, więc $(n-3)\left(\frac{294}{n}+4\right)=324.$ Po uporządkowaniu: $2n^2-21n-441=0.$ Dodatni pierwiastek to $n=21$, zatem $p=294/21$.

Niech $x$ oznacza planowaną liczbę stron dziennie. Liczba dni miała wynieść $400/x$, a po zwiększeniu tempa byłaby równa $400/(x+5)$. Zatem

Niech liczby będą równe $x$ i $x+2$. Warunek ma postać $\frac1x+\frac1{x+2}=0{,}225=\frac9{40}.$ Po usunięciu mianowników: $9x^2-62x-80=0.$ Delta wynosi $82^2$, więc $x=8$ albo $x=-\frac{10}{9}$.

Niech mianownik dodatniego ułamka będzie równy $n$, wtedy licznik to $n+1$, a $u=\frac{n+1}{n}$. Z warunku $u-\frac1u=0{,}45=\frac9{20}$ otrzymujemy $20u^2-9u-20=0.$ Dodatnim pierwiastkiem większym od 1 jest $u=\frac54$.