MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 139

a) Dla $x\ne1$ rozkład $1-x^3=(1-x)(x^2+x+1)$ daje $\frac{1-x}{|1-x^3|}=\frac{\operatorname{sgn}(1-x)}{x^2+x+1}.$ Dla $x>1$ nierówność jest automatyczna, a dla $x<1$ wymaga $x^2+x+1\ge1$.

b) Licznik jest równy $(|x|-2)^2$. Po wykluczeniu $x=-3,-2$ o znaku ułamka decyduje $(x+2)(x+3)$, przy czym $x=\pm2$ zerują licznik.

c) Dla $x\ge0$ nierówność upraszcza się do $\frac{3x+2}{x-2}>0$. Dla $x<0$, po skróceniu czynnika $x+2$ przy $x\ne-2$, otrzymujemy $-(2x+1)>0$.

Mianownik upraszcza się do $|x-5|+\left|\frac{x-5}{5}\right|=\frac65|x-5|.$ Dla $x\ne5$ nierówność ma więc postać $\frac{10}{|x-5|}<5$, czyli $|x-5|>2$. Liczby naturalne, które jej nie spełniają, leżą między 3 i 7; liczba 5 dodatkowo nie należy do dziedziny.

Trzeba mieć $x\ne-2,1$ oraz $\left|\frac{x-3}{x+2}\right|\ge\left|\frac{x+5}{x-1}\right|.$ Po podniesieniu nieujemnych stron do kwadratu licznik różnicy jest iloczynem

Liczbę przecięć wyznaczamy z wykresów funkcji lewej strony i prostych $y=m$.

a) Dla $t=|x|>0$ funkcja $|4/t-3|$ ma minimum 0; każda dodatnia wartość $t$ daje dwa argumenty. Poziomy $0<m<3$ przecinają obie gałęzie w zmiennej $t$, a poziomy $m=0$ i $m\ge3$ tylko jedną.

b) Funkcja $\left|\frac{x-1}{x-2}\right|$ jest nieujemna. Poziom 0 ma jeden punkt, poziom 1 także jeden, a każdy inny dodatni poziom dwa.

c) Po rozpisaniu $|x-2|$ otrzymujemy dwie gałęzie o granicznej wartości $-1$ i poziomie $1$ rozdzielającym liczbę przecięć.

d) Na odpowiednich przedziałach funkcja jest stała równa $-1$ albo $1$; poza nimi jej wartości leżą w $(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$.

Dziedzina wyklucza $x=-4,0$. Po rozpisaniu modułu:

Wielomian rozkłada się na $x^2-mx-m-1=(x+1)(x-m-1),$ więc pierwiastki to $-1$ i $m+1$. Muszą być różne i niezerowe, zatem $m\ne-2,-1$. Warunek przyjmuje postać $1+\frac1{|m+1|}=2,$ czyli $|m+1|=1$. Kandydat $m=-2$ odpada z powodu podwójnego pierwiastka.

Dla $x\in\langle-3;-1\rangle$ liczba $t=|x+2|$ przebiega przedział $\langle0;1\rangle$. Punkt $t=0$ nie należy do dziedziny, a każdej wartości $t\in(0;1\rangle$ odpowiadają dwa symetryczne pierwiastki. Na tym przedziale $\left|\frac4t-1\right|=\frac4t-1.$ Równanie ma więc dwa żądane pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $m=\frac4t-1$ dla pewnego $0<t\le1$, czyli $m\ge3$.

Oznaczmy $c=2m+3$. Dwa różne rozwiązania większe od 1 mogą powstać z równań $\frac{2x-3}{x-1}=c\quad\text{oraz}\quad\frac{2x-3}{x-1}=-c.$ Na przedziale $(1;\infty)$ funkcja $2-\frac1{x-1}$ przyjmuje wszystkie wartości mniejsze od 2. Oba poziomy $c$ i $-c$ należą do tego zbioru oraz są różne dokładnie dla $0<c<2$.

Rozpisujemy moduły na przedziałach.

a) Dla $x>0$ mamy $f(x)=x-2$, a dla $x<0$ mamy $f(x)=x+2$; suma ich zbiorów wartości to $\mathbb R$.

b) Dla $x>-1$ mamy $f(x)=x-2$, a dla $x<-1$ mamy $f(x)=2-x$. Pierwsza gałąź daje $(-3;\infty)$.

c) Dla $|x|\le2$ mianownik wynosi 4, więc $f(x)=x$; poza tym przedziałem funkcja jest równa odpowiednio $-2$ lub $2$.

d) Dla $x\le-2$ mianownik wynosi 4, dla $-2<x<2$ wynosi $-2x$, a dla $x\ge2$ wynosi $-4$. Po wykluczeniu $x=0$ wszystkie wartości są nie większe od $-2$.