MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 13

a) Warunek $f(x)>5$ prowadzi do nierówności

$$x^2-6x>0,\qquad x(x-6)>0,$$

więc $x<0$ lub $x>6$. Z kolei

$$f(x)<-3\iff x^2-6x+8<0\iff(x-2)(x-4)<0,$$

co zachodzi dla $2<x<4$.

b) Rozwiązujemy jednocześnie

$$x^2-8x+15>3\quad\text{oraz}\quad x^2-8x+15<8.$$

Pierwsza nierówność daje $x\in(-\infty;2)\cup(6;\infty)$, a druga $x\in(1;7)$. Ich część wspólna to $(1;2)\cup(6;7)$.

Choć rozwiązania można odczytać z wykresu, potwierdzamy jego punkty charakterystyczne rachunkowo.

a)

$$f(x)=\frac14(x^2+2x-15)=\frac14(x+5)(x-3),$$

więc parabola jest niedodatnia między miejscami zerowymi $-5$ i $3$.

b) $g(x)=x(3-x)$ jest dodatnia między miejscami zerowymi $0$ i $3$.

c)

$$f(x)-g(x)=\frac54(x^2-2x-3)=\frac54(x+1)(x-3).$$

Warunek $f(x)\le g(x)$ jest zatem spełniony dla $-1\le x\le3$.

a) Przenosimy prawą stronę na lewą i wyłączamy wspólny czynnik:

$$(6-x)(x-4)-(x-1)(x-4)=(7-2x)(x-4)<0.$$

Miejsca zerowe to $\frac72$ i $4$; iloczyn jest ujemny na zewnątrz przedziału między nimi.

b)

$$(x+1)^3-(x+1)(x^2-x+2)=(x+1)(3x-1)\ge0.$$

c) Ponieważ $(2-x)^2=(x-2)^2$, otrzymujemy

$$(x-2)(x+5)-2(x-2)^2=(x-2)(9-x)>0.$$

d) Korzystamy z rozkładu $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$:

$$(x+2)^3-(x-1)(x+1)(x+2)=(x+2)(4x+5)\le0.$$

Najpierw rozwiązujemy nierówność w zbiorze liczb rzeczywistych, a potem wybieramy liczby całkowite.

a) Miejsca zerowe to $3-\sqrt6$ i $3+\sqrt6$, czyli w przybliżeniu $0{,}55$ i $5{,}45$. Całkowite liczby z przedziału domkniętego między nimi to $1,2,3,4,5$.

b) Nierówność zachodzi dla

$$1-\frac{2\sqrt6}{3}<x<1+\frac{2\sqrt6}{3},$$

czyli w przybliżeniu dla $-0{,}63<x<2{,}63$. Wybieramy $0,1,2$.

c) Miejsca zerowe to $\frac{-1-\sqrt{31}}2$ i $\frac{-1+\sqrt{31}}2$, w przybliżeniu $-3{,}28$ i $2{,}28$. Pomiędzy nimi leżą liczby całkowite od $-3$ do $2$.

d) Po pomnożeniu przez $-1$ otrzymujemy $9x^2-12x-13>0$. Miejsca zerowe to $\frac{2-\sqrt{17}}3\approx-0{,}71$ i $\frac{2+\sqrt{17}}3\approx2{,}04$, więc wybieramy liczby całkowite leżące na zewnątrz tego przedziału.

a) Po pomnożeniu przez $2$ i uporządkowaniu dostajemy

$$x^2-6x+1\le2x^2+10 \iff 0\le(x+3)^2.$$

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdego $x$.

b) Mnożymy nierówność przez $6$:

$$3(x^2-5x+9)\ge2x^2+23x+66.$$

Stąd

$$x^2-38x-39=(x+1)(x-39)\ge0.$$

c) Najpierw upraszczamy obie strony:

$$(x+4)^2-(x-6)^2=20(x-1),$$ $$(x+4)^3-(x-6)^3+120=30x^2-60x+400.$$

Zatem

$$400(x-1)^2<30x^2-60x+400 \iff370x(x-2)<0.$$

a) Uzupełniamy do kwadratu:

$$2x^2-20x+43=2(x-5)^2-7.$$

Podwójna nierówność przyjmuje postać

$$-5<2(x-5)^2-7<1 \iff1<(x-5)^2<4.$$

Stąd $1<|x-5|<2$.

b) Mamy

$$-3x^2-2x+4\frac23=5-3\left(x+\frac13\right)^2.$$

Zatem

$$-22<5-3\left(x+\frac13\right)^2<-7 \iff4<\left(x+\frac13\right)^2<9.$$

Stąd $2<\left|x+\frac13\right|<3$.