MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 138

Najpierw wykluczamy zera mianowników. Następnie korzystamy z równoważności $|A|=|B|\iff A=\pm B$.

a) $|x+2|=4$.
b) $|2x-1|=\frac34$.
c) $|x+2|=2|4x-3|$.
d) $|2x+3|=2|x-3|$.
e) $\frac{7x-6}{2x-1}=\pm4$.
f) $\frac{5-x}{2x+1}=\pm1$.

Rozwiązania otrzymanych równań liniowych nie zerują żadnego mianownika.

Podstawiamy $t=|x|\ge0$ i pamiętamy o wykluczeniu zer mianowników.

a) $\frac{t+3}{t-3}=3$ daje $t=6$.

b) $\frac{3t-2}{t-1}=4$ daje $t=2$.

c) $\frac{3t+1}{t+1}=2$ daje $t=1$.

Na wykresie każda dodatnia wartość $t$ odpowiada dwóm symetrycznym argumentom $x=\pm t$.

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod modułem i zera mianowników.

a) Warunek $x+2>0$ oraz dwa przypadki znaku $3-4x$ dają równania $x+2=\pm2(3-4x)$.

b) Dla $x\ge0$ i $x<0$ osobno rozwiązujemy $2x=4(|x|-3)$.

c) Po rozpisaniu $|x+5|$ na przedziałach $x\ge-5$ i $x<-5$, sprowadzamy równanie do wspólnego mianownika; po odrzuceniu $x=1,5$ pozostają cztery kandydaty, z których dwa spełniają właściwe warunki przedziałowe.

a) Po podniesieniu obu stron do kwadratu i skróceniu otrzymujemy $x(x^2-2)=0$, przy $x\ne\pm1,\pm2$.

b) Dla $x\ge1$ oraz $x<1$ rozwiązujemy odpowiednio $\frac{x}{x-1}=2x-1$ i $\frac{x}{1-x}=2x-1$; tylko $x=\frac{2+\sqrt2}{2}$ spełnia warunek przypadku.

c) Dla $x\le5$ mamy $\frac{5-x}{x-4}=x$, co daje $x^2-3x-5=0$; oba pierwiastki są dopuszczalne. Drugi przypadek nie daje nowych rozwiązań.

d) Dla $t=|x|>0$ równanie $1/t+3=4/t^2$ daje $3t^2+t-4=0$, więc $t=1$.

a) Pierwszy warunek daje $A=(-\infty;1)\cup(1;2\rangle$. Drugi, po rozpisaniu $|x+4|$, daje $B=(0;4\rangle$. Ich część wspólna to $(0;1)\cup(1;2\rangle$.

b) Dla $x<0$ nierówność definiująca $A$ jest automatycznie prawdziwa; dla $x>0$ prowadzi do $x\ge3$. Zatem $A=(-\infty;0)\cup\langle3;\infty)$. Drugi warunek jest równoważny $2\le|x|\le6$, więc $B=\langle-6;-2\rangle\cup\langle2;6\rangle$.

Rozwiązujemy obie nierówności składowe na przedziałach $x<0$ i $x\ge0$, z wyłączeniem zer mianowników.

a) Dla $x<4$ warunek dolny daje $x\le3$, a dla $x>4$ warunek górny daje $x\ge6$.

b) Rozpisanie $|x|$ prowadzi do $x\le-1$ albo $x\ge1$.

c) Dla $x>0$ oba ograniczenia są spełnione dokładnie dla $x\ge1$; dla $x<0$ brak rozwiązań.

Rozpatrujemy znaki wyrażeń pod modułami i mianowników.

a) Dla $x>-1$ prawa strona znaku ma wartość $1$, a dla $x<-1$ wartość $-1$. Po rozwiązaniu obu nierówności i wykluczeniu $x=2$ otrzymujemy dwa przedziały.

b) Osobno dla $x\ge-1$ i $x<-1$ sprowadzamy nierówność do kwadratowej; warunki przypadków pozostawiają $x<-1-\sqrt2$ albo $1<x\le\sqrt3$.

c) Dla $x\ge2$, $-2<x<2$ oraz $x<-2$ usuwamy moduł z ułamka. Po połączeniu wyników i wykluczeniu $x=-2$ otrzymujemy wskazany zbiór.

a) Dla $x\ne3$ po przeniesieniu stron otrzymalibyśmy $\frac2{|x-3|}+1\le0$, co jest niemożliwe.

b) Dziedzina wyklucza $x=-3,2$. Po skróceniu dodatnich czynników ułamek jest równy $\frac1{|x-2|}>0$, więc nie może być mniejszy ani równy zero.

c) Ponieważ $2+|x|\ge2$, zachodzi $\frac3{2+|x|}\le\frac32<2$. Każda z trzech nierówności jest więc sprzeczna.