MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 137

W każdym podpunkcie mianownik musi być różny od zera. Po pomnożeniu przez dodatnią wartość bezwzględną otrzymujemy:

a) $|x-3|=2$, więc $x=1$ lub $x=5$.

b) $|4x-1|=4$, więc $4x-1=\pm4$.

c) $|8x-4|=10$, więc $8x-4=\pm10$.

d) $|3x-2|=\frac14$, więc $3x-2=\pm\frac14$.

e) $|7-2x|=30$, więc $7-2x=\pm30$.

f) Skan strony 137 potwierdza zapis $|\sqrt2\,x+2|$. Równanie jest równoważne $|\sqrt2\,x+2|=2$, zatem $\sqrt2\,x+2=\pm2$.

Sprowadzamy mianowniki do tej samej wartości bezwzględnej.

a) $\frac3{|x-3|}=3$, więc $|x-3|=1$.

b) $\frac6{5|x-1|}-\frac3{2|x-1|}=-3$, czyli $|x-1|=\frac1{10}$.

c) $\frac{26}{15|x-5|}=\frac{26}{15}$, więc $|x-5|=1$.

d) Lewa strona jest równa $\frac7{2|x-2|}$, stąd $|x-2|=\frac12$.

Uwzględniamy dziedzinę i rozpatrujemy znaki wyrażeń pod modułem.

a) $|x|+1=3$, zatem $|x|=2$.

b) $|x+1|=\frac53$.

c) Prawa strona wymaga $x>0$. Dla $x\ge2$ mamy $8=x(x-2)$, a dla $0<x<2$ mamy $8=x(2-x)$. Tylko pierwszy przypadek daje $x=4$.

d) Dla $t=x-1$ równanie $1/|t|=t$ wymaga $t>0$ i daje $t=1$.

e) Musi być $x>-4$. Dla $-4<x<0$ równanie $-2x=3(x+4)$ daje $x=-\frac{12}{5}$; drugi przypadek nie daje dopuszczalnej liczby.

f) Dla $x\ge2$ otrzymujemy $x^2-3x-1=0$ i warunek spełnia tylko większy pierwiastek. Dla $x<2$ równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wykluczamy zera mianowników:

a) $|x-1|=0$ dla $x=1$.

b) $|x-1|=1$ dla $x=0$ lub $x=2$.

c) $|3x-6|=8$ dla $x=-\frac23$ lub $x=\frac{14}{3}$.

d) $|x-7|+7\ge7$, więc mianownik nie znika.

Każdą nierówność sprowadzamy do warunku na dodatnią wartość bezwzględną:

a) $0<|x|<5$; b) $0<|x+3|\le2$; c) $0<|7-x|<\frac12$; d) $0<|x-10|\le5$;

e) $|x|\ge2$; f) $|x+6|>5$; g) $|x-5|\ge2$; h) $|x-2|>4$.