MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 136

Rozpisujemy moduł osobno po obu stronach jego punktu zerowego.

a) Dla $x<3$ nierówność redukuje się do $x(1-x)<0$, a dla $x\geq3$ zachodzi zawsze.

b) Po rozdzieleniu w $-4$ otrzymujemy $x<-1$ lub $x>0$.

c) Dla $x\leq6$ warunek to $9x\geq0$, a dla $x\geq6$ jest spełniony.

d) Dla $x\leq2$ otrzymujemy $x(x-2)\geq0$, a druga gałąź dodaje punkt $2$.

Po rozpisaniu modułów dostajemy $A=(-\tfrac83;\tfrac73),\qquad B=(-\infty;-2\rangle,\qquad C=(-\tfrac{31}{10};\tfrac9{10}).$ Suma $A\cup B=(-\infty;\frac73)$ zawiera cały przedział $C$.

Mamy $0,\overline{837}=\frac{837}{999}=\frac{31}{37}<\sqrt3$, więc $\frac{31}{37}-\sqrt3<0$ i tym samym $x<0$. Dla każdego $x<0$: $|2x-3|-2|x-3|=(3-2x)-2(3-x)=-3,$ co nie jest większe od $9$.

Rozpisujemy sumę modułów na przedziałach wyznaczonych przez $\frac12,\frac23,\frac34$. Nierówność z symbolem $\leq$ jest spełniona dokładnie dla $x\in\langle0;\frac43\rangle$. Zadanie pyta o dopełnienie tego zbioru.

Niech $t=\frac x2$. Wyrażenie $\big||t-1|-|t+1|\big|$ przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $\langle0;2\rangle$: dla $|t|\leq1$ wynosi $2|t|$, a poza tym przedziałem wynosi $2$. Funkcja ma zero wtedy i tylko wtedy, gdy całkowite $m$ należy do tego zbioru wartości.

Najpierw rozwiązujemy równanie obwodu $|2x-1|+|3-x|+|x|=5$ na przedziałach wyznaczonych przez $0,\frac12,3$. Kandydatami są $x=-\frac14$ i $x=\frac32$. Dla $x=-\frac14$ największy bok jest dłuższy od sumy pozostałych, więc trójkąt nie istnieje. Dla $x=\frac32$ boki $2,\frac32,\frac32$ spełniają nierówności trójkąta.

Lewa strona jest funkcją $F(x)=\begin{cases}3x+9,&x<-1,\\3-3x,&-1\leq x\leq3,\\x-9,&x>3.\end{cases}$ Pierwsza gałąź ma zbiór wartości $(-\infty;6)$, środkowa $\langle-6;6\rangle$, a ostatnia $(-6;\infty)$. Liczbę rozwiązań odczytujemy jako liczbę gałęzi przyjmujących wartość $m$, pamiętając o wspólnych końcach.

Środek odcinka należy do $y=x$, gdy suma współrzędnych $x$ końców równa się sumie ich współrzędnych $y$. Po pomnożeniu przez $6$ dostajemy $3|a-5|+2|a+4|=2|2a-1|+3|3a-1|.$ Rozpisujemy moduły w punktach $-4,\frac13,\frac12,5$ i sprawdzamy otrzymane rozwiązania.

Dla boków $4,6,t$ nierówności trójkąta są równoważne $2<t<10$. Podstawiamy $t=|2x+1|-|x|$ i rozpisujemy wyrażenie w punktach $-\frac12,0$. Środkowa gałąź nie daje rozwiązań; na skrajnych otrzymujemy dwa przedziały.

Rozpisujemy moduły na przedziałach wyznaczonych przez ich miejsca zerowe i na każdym rozwiązujemy obie nierówności, po czym bierzemy część wspólną.

a) Suma $|x+2|+|x-3|$ jest zawsze co najmniej $5$, więc warunek $<5$ jest niemożliwy.

W pozostałych podpunktach po połączeniu zgodnych gałęzi otrzymujemy poniższe przedziały.

Suma odległości od sześciu uporządkowanych punktów $1,2,3,4,5,6$ jest najmniejsza dla każdego $x$ między dwiema środkowymi liczbami, czyli dla $x\in\langle3;4\rangle$. Dla przykładu w $x=\frac72$ wynosi $\frac52+\frac32+\frac12+\frac12+\frac32+\frac52=9$.

Dziedzina wymaga $|x|\leq|a|$. Obie strony są nieujemne, więc nierówność można podnieść do kwadratu: $a^2-x^2\geq(x+a)^2\iff x(x+a)\leq0.$ Dla $a>0$ rozwiązaniem jest cały przedział $\langle-a;0\rangle$, a dla $a<0$ przedział $\langle0;-a\rangle$. Dokładnie jeden punkt pozostaje tylko wtedy, gdy $a=0$.