MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 135

Rozdzielamy oś w miejscach zerowania wyrażeń pod modułami i rozwiązujemy równanie liniowe na każdym przedziale. Następnie odrzucamy wyniki leżące poza założonym przedziałem.

Rozpatrujemy znaki wyrażeń pod modułami. a) Dostajemy równania $8x-x^2=12$ i $x^2-4x=12$. b) Wyłączamy $x$: $x(|x+6|-1)=0$. c, d) prawa strona jest dodatnia, więc $x>0$; na obu gałęziach rozwiązujemy odpowiednie równania kwadratowe.

Równanie miejsc zerowych ma postać $\big||2x-1|-|x|\big|=\frac14$. Po rozpatrzeniu przedziałów wyznaczonych przez $0$ i $\frac12$ otrzymujemy $x=\frac14,\frac5{12},\frac34,\frac54$. Ich suma wynosi $\frac83$.

W a, b podstawa pierwiastka musi być nieujemna; w c dodatnia; w d licznikowa podstawa jest nieujemna, a mianownikowa dodatnia. Rozpisanie modułów na przedziałach wyznaczonych przez ich zera daje poniższe części wspólne warunków.

Dla $x>0$ mamy $|3x+4|=3x+4$. Gdy $0<x<2$, lewa strona nierówności wynosi $8x+2$, więc nierówność zachodzi dla $x>\frac12$. Dla $x\geq2$ zachodzi zawsze. Szukamy dodatnich liczb, które jej nie spełniają.

Niech $y=|x|\geq0$. Równanie $|1-|1-y||=1$ daje $|1-y|=0$ lub $|1-y|=2$. Stąd $y=1$ lub $y=3$.

Pierwszy warunek daje $x\in\langle-\frac13;\frac43\rangle$. W drugim warunku rozdzielamy oś w $-\frac13$ i $\frac12$: nierówność zachodzi dla $x<-\frac13$ lub $x>\frac12$. Bierzemy część wspólną.

a) $(x-1)(x-2)=0$. b) Dla $t=|x|$ mamy $(t-1)(t-2)=0$. c) Dla $t=|2x-7|$ również mamy $(t-1)(t-2)=0$.

a) Po pomnożeniu przez $2$ otrzymujemy $|4x-1|+|3x-1|=|(4x-1)+(3x-1)|$. Równość trójkątna zachodzi, gdy $(4x-1)(3x-1)\geq0$.

b) Po pomnożeniu przez $6$ i rozpisaniu modułów w punktach $-4,1,3$ równanie jest tożsamością na $\langle-4;1\rangle$, a poza nim daje jeszcze $x=4$.