MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 134

Rozpatrujemy dwa przedziały wyznaczone przez punkt zerowania każdego modułu i odrzucamy rozwiązania niespełniające założenia danego przypadku. W podpunktach c i e jedna z gałęzi staje się tożsamością, a w d i f żadna gałąź nie daje dopuszczalnego rozwiązania.

W każdym równaniu rozdzielamy przypadki po obu stronach miejsca zerowego wyrażenia pod modułem. Po rozwiązaniu równań liniowych sprawdzamy przynależność wyniku do założonego przedziału.

Rozdzielamy oś w punkcie zerowania modułu i na każdej części zastępujemy moduł właściwym wyrażeniem liniowym. Po połączeniu dopuszczalnych części otrzymujemy poniższe zbiory. W f obie gałęzie łącznie pokrywają całe $\mathbb R$.

Dla nierówności $|u|<v$ (lub $\leq$) wymagamy najpierw $v>0$ (lub $v\geq0$), a następnie rozwiązujemy $-v<u<v$. W f prawa strona jest ujemna dla $x<4$, a dla $x\geq4$ lewa jest od niej większa, więc rozwiązaniem jest całe $\mathbb R$.

Rozdzielamy oś w punktach zerowania obu modułów. Między tymi punktami suma odległości jest stała, a poza nimi rośnie liniowo. Analogicznie dla różnicy modułów otrzymujemy funkcję stałą poza środkowym przedziałem.

Pierwsza nierówność daje $x\in(-\frac92;\frac{11}{2})$. Druga daje $x\in(-\infty;-\frac{11}{2})\cup(\frac92;\infty)$. Ich częścią wspólną jest $(\frac92;\frac{11}{2})$, w którym jedyną liczbą całkowitą jest $5$.